Производные неявных функций

Ранее было введено понятие неявной функции одного аргумента в неявном виде, т.е. уравнением F(x;y)=0. Однако там же указывалось, что не всякое уравнение F(x;y)=0 определяет функцию y=f(x).

Теорема (достаточные условия существования неявной функции).

Пусть: F(x;y) определена и непрерывна как функция двух переменных вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки Мо(х_о;у_о);

В точке Мо(х_о;у_о) имеет место равенство F(х_о;у_о)=0,

В точке Мо F’_x(х_о;у_о) не равна нулю; тогда: в некотором прямоугольнике D уравнение F(x;y)=0 определяет однозначную y=f(x);

При х= х_о функция y=f(x) принимает значение у_о;

На промежутке функция y=f(x) непрерывна и имеет производную, которую вычисляют по формуле y`=.

Комментарий. Следует заметить, что фактической функции y=f(x) можно и не получить вообще, т.к. не всякое уравнение F(x;y)=0 можно решить относительно у. И все же производную вычислить можно.

Дата добавления: 2014-10-23