Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Ниже рассматриваем только знакоположительные ряды, т.к. знакоотрицательные ряды нет необходимости рассматривать в силу С 2.

Пусть ряд будет положительным, т.е.

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся.

Теоремы сравнения рядов.

Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда и , причем для всех достаточно больших . Тогда:

- из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда (1);

- из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Сравнение исследуемых рядов производится обычно с табличными рядами: - геометрическая прогрессия, сходящаяся при и расходящаяся при

- расходящийся гармонический ряд;

- обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при .

Пример. Исследовать сходимость ряда

Сравним данный ряд с рядом , представляющим собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда , следовательно данный ряд сходится.

Теорема 2. Исследуется на сходимость ряд (1), известно поведение ряда (2).

Если существует конечный отличный от нуля предел , то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же = 0, то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Сравним данный ряд с гармоническим .

=, следовательно ряд расходится.

Теорема 3. Признак Даламбера.

Пусть для числового ряда с положительными членами

существует Тогда

1) если l < 1 - ряд сходится;

2) если l > 1 - ряд расходится;

3) если l= 1 - ряд может сходиться или расходиться (в этом случае признак на вопрос о сходимости ряда ответа не дает).

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд 1+

Решение.

= - ряд сходится.

Теорема 4. Признак Коши.

Если существует , то

1) если l< 1 - ряд сходится;

2) если l > 1 - ряд расходится;

3) если l = 1 - определить сходимость невозможно.

Пример 4 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

ряд сходится.

Пример 5 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

- ряд расходится.

Дата добавления: 2014-10-23