Степенные ряды. Понятие функционального ряда

Понятие функционального ряда. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.

Функциональным рядом называется ряд

каждое слагаемое которого является функцией от х, определенной на одном и том же множестве А. При фиксированном хА получим различные числовые ряды, которые могут оказаться как сходящимися, так и расходящимися.

Совокупность тех значений хА, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда (1).

Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от х. Обозначим ее S(x).

Функциональные ряды вида

где заданные действительные числа, называются степенными.

Пример. степенной ряд. При каждом значении х ряд является числовым. Например, при х = 2 получается числовой ряд . У степенного ряда счет членов ведется не с единицы, а с нуля.

Любой степенной ряд вида (2) сходится в точке . Поэтому область сходимости степенного ряда всегда содержит по крайней мере одну точку.

Сходимость ряда (2) регламентируется теоремой, носящей имя норвежского математика Н. Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд

а) сходится при х=х₀, то он абсолютно сходится и при х, таких, что ;

б) расходится при , то он расходится и при х таких, что

Сближая и , имеем случай, показанный на рис. 2, т.е. существует такое число R0, что при ряд сходится, а при расходится.

Это число называется радиусом сходимости.

R=0, R и R=R - три возможности для каждого степенного ряда.

Дата добавления: 2014-10-23