Свойства сходящихся рядов

Необходимый признак сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов.

Теорема. Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю, т.е.

.

Доказательство.

Пусть ряд сходится и его сумма равна S. Очевидно, что a_n=S_n-S_n-1 Поэтому

Условие (*) является необходимым, но не является достаточным для сходимости ряда. Например, гармонический ряд удовлетворяет этому условию, но расходится.

Если общий член ряда имеет предел, отличный от нуля, то ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

следовательно, данный ряд расходится по теореме (*).

Определение. Суммой двух рядов и называется ряд вида

С 1. Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд. Его сумма равна сумме сумм этих рядов.

С 2. Если все члены сходящегося ряда, сумма которого равна S, умножить на некоторое число , то получится новый сходящийся ряд, сумма которого равна

С 3. Сумма и разность сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

С 4. Если в сходящемся ряде

1) заменить конечное число членов новыми членами;

2) отбросить или приписать конечное число членов;

3) совершить перестановку любого конечного числа членов,

то получится новый сходящийся ряд.

Дата добавления: 2014-10-23