Однородные уравнения

Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения

Имеем или

Общее решение уравнения (1) получим, проинтегрировав последнее равенство.

В общем виде уравнения с разделяющимися переменными представляются как

Пример 1. Найти частное решение уравнения

Решение.

.

Из начального условия находим С = 1 и окончательно у=х

Пример 2. Найти все решения дифференциального уравнения .

Очевидно, что у=0 является решением данного уравнения.

Пусть теперь Тогда

Ответ: ;

Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если где - произвольное выражение.

Однородное уравнение можно свести к уравнению с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если, разрешив его относительно производной, мы получим для нее выражение, являющееся функцией только отношения искомой функции к ее аргументу

Для решения данного уравнения делаем подстановку , откуда и . Тогда уравнение преобразуется к виду:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Решив его относительно и заменив затем на найдем общее решение уравнения.

Пример 1 Решить уравнение

Пример 2. Решить уравнение

Дата добавления: 2014-10-23