Тема 10. Определенный интеграл

Дается понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов. Использование определенного интеграла в экономике.

Пусть на [a;b] задана f(x). Разобьем отрезок на n частей точками. На каждой части выберем точку Мк. Вычислим сумму и назовем ее интегральной. Таких сумм можно составить сколько угодно (изменяя способ разбиения и выбор токи Мк на каждом участке разбиения). Вычислим предел интегральной суммы при n à и максимальном à0. Если указанный предел существует независимо от способа разбиения [a;b] на части и выбора на каждом участке разбиения, а только в зависимости от f(x) и длины отрезка [a;b], то такой предел назовем определенным интегралом и обозначим . В этом определении: - символ определенного интеграла; f(x) – подынтегральная функция; а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования; х (под знаком d) – аргумент интегрирования.

Теорема существования. Если f(x) ограничена на [a;b] и непрерывна на нем всюду кроме конечного числа точек разрыва 1-го рода, то определенный интеграл существует.

Основные свойства ОИ.

. Док. Следует из свойства предела.

. Достаточно в качестве одной из точек разбиения выбрать точку С.

. Т.к. константу можно выносить за знак предела.

. Трапеция вырождается в прямоугольник.

f(x)dx. Т.к. точки разбиения только поменяют порядок.

Формула Ньютона-Лейбница .

Дата добавления: 2014-10-23