Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям

Методы нахождения определенного интеграла

Теорема. Если х=ф(t) непрерывна на [ ; ] оси t вместе со своей производной x’=ф’(t); при изменении t от до значение ф(t) не выходит за пределы [a;b]; ф()=а, ф() = b, то для непрерывной на [a;b] функции f(x) справедливо равенство f(x)dx=f(ф(t))ф’(t)dt (7.3)

называемое формулой замены переменной в определенном интеграле.

Док. В самом деле f(t)dt= F(b)-F(a), где F(x) первообразная для f(x). Т.к. при этом F(ф(t)) – есть первообразная для f(ф(t))ф’(t), непрерывной на

[ ; ], то По Ньютону-Лейбницу имеем f(ф(t))ф’(t)dt =F(ф()) - F(ф())= F(b)-F(a) =f(t)dt.

Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х, на некоторое выражение, а выражение, связывающее х заменяют одной переменной. А далее – как обычно. Не следует забывать также о смене пределов интегрирования в момент замены, чтобы не возвращаться к исходной переменной.

Интегрирование по частям. Пусть u=ф(х) и v=f(x) непрерывны и дифференцируемы на [a;b]. Проинтегрируем равенство (uv)’=u’v+v’u на этом отрезке и получим (uv)’dx= u’vdx + v’udx. Но т.к. uv есть первообразная для (uv)’, то получаем v’udx = uv- u’vdx (7.3)

Формулу (7.3) называют формулой интегрирования по частям в ОИ

Дата добавления: 2014-10-23