Тема 2. Простейшие показательные уравнения и неравенства

I. Примеры решений уравнений, сводящихся к линейным уравнениям.

II. Примеры решений уравнений, сводящихся к линейным уравнениям.

III. Примеры решений уравнений, сводящихся к линейным уравнениям (пропорция).

2. Решите уравнение:

а) -7(0,3х -8) + 3(0,4х +5) =8; б) 0,4х+0,3х – 0,84х = 1,12;

в) 0,7(6у - 5)= 0,4(у -3) – 1,16; г) 3,6+2х = 5х +1,2;

д) 4(1 - 0,5а)= - 2(3 + 2а)

Основные понятия и термины: показательные уравнения, показательные неравенства

Краткое изложение теоретических вопросов:

Пример 1 1000^x=100

Решение:

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:10^3x=10²

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3 x =2
x =2/3

Ответ: 2/3.

Пример 2 3^х2-х-2=81

Решение:

3^х2-х-2=3⁴

Приравниваем показатели:

х²-х-2=4

х²-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х₁=(1+5)/2=3

х₂=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями.

Пример 3 4^х+1+4^х=320

Решение:

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4^х за скобки:

4^х(4+1)=3204^х∙5=320

Представим 320 в виде 5∙4³, тогда:4^х∙5=5∙4³

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:4^х=4³

Приравняем показатели:х=3

Ответ: 3

Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число.
Если a>1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству .
Если 0<a<1, то показательная функция монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству

Пример 4 Решим неравенство

Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Пример 5 Решим неравенство .

Запишем неравенство в виде .

Показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х < - 3

Ответ: .

Задания:

1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-4;0) 2) [0;1) 3) [1;4) 4) [4;6)

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-5;-3) 2) [-3;0] 3) (2;4] 4) (0;2]

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-1;0] 2) (0;1] 3) (1;2] 4) (2;3]

4.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (4;0] 2) (0;1] 3) (1;3) 4) [3;6)

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1(1;2) 2) [2;5) 3) [-2;-1] 4) (-1;1]

6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-3;-1) 2) [-1;0) 3) [0;1) 4) [1;5]

7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (5;6] 2) [-1;0) 3) [0;2] 4) (-5;-1)

8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-1;0) 2) [0;1) 3) [1;3) 4) [3;5]

Решить уравнение:

1. 2^х + 2^{х + 1} = 6 2. 5^{х + 1} + 5^х + 5^{х – 1} = 31 3. 27^1-х =

4. 5^3х = 25^{х + 0, 5} 5. 8^х = 4^{ж – 1} 6. 216^{3х + 1} =

7. 49^{х + 1} = 8. 2^3х = 9. 13^х = 1

10. = 11. 4•3^{х + 2} + 5•3^{х +1} - 6•3^х = 5

12. 3^{х + 2} - 5•3^х = 36 12. 7^{х + 2} - 14•7^х = 5

13. 2^{х + 4} – 2^х = 120 14. 2^{х + 3} + 2^{х + 1} - 7•2^х = 48

15. = 27^{х + 3} 16. 10•5^{х -1} + 5^{х + 1} = 7

17. 7^х - = 6 18. 4 ^{5х + 1 =}

19. 3^{х + 2} + 3^х = 810 20. 8^{2 + 3х} =

21. 81^{1 – 2х} = 27 ^{2 – х} 22. 3^{х + 2} + 3^{х + 1} + 3^х = 39

23. 2^5х = 4 ^{2х + 1}

Раздел 5

Дата добавления: 2014-10-23