Свойства определителей. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка

Решение

Пример 3

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка

Определители 2-го и 3-го порядков

Решение

Пример 4

Пример 3

Произведение двух матриц НЕ подчиняется переместительному (коммутативному) закону

,

в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.

В частных случаях, когда матрицы называются перестановочными.

Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

А Е = Е А = А.

Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.

Найти значение матричного многочлена, если,,.

.

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка:

Определение. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число

.

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя (они же элементы матрицы А).

Элементы а ₁₁, а ₂₂ составляют главную диагональ, а элементы а ₂₁, а ₁₂ – побочную диагональ.

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:

.

Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число D, которое определяется выражением:

Элементы а ₁₁, а ₂₂, а ₃₃ – расположены на главной диагонали, элементы а ₁₃, а ₂₂, а ₃₁ – на побочной диагонали.

Определитель 2-го порядка вычисляется по определению:

.

Пример 1

Для вычисления определителя 3-го порядка можно воспользоваться следующими правилами:

Правило Саррюса: дописать справа к элементам определителя сначала 1-й столбец, затем 2-й (можно внизу дописать первую и вторую строки), (рис.1), произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также произведения элементов, стоящих на двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «плюс», а произведение элементов побочной диагонали и двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «минус» (рис. 1). Сумма этих шести произведений дает определитель 3-го порядка, соответствующий матрице А.

,

- - - + + +

Рис. 1

Пример 2

Вычислить.

Решение

,

– – – + + +

таким образом:

Правило треугольника: одно из трех слагаемых, со знаком «плюс» есть произведение элементов главной диагонали определителя, каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла определителя, слагаемые со знаком «минус» строятся так же, но относительно побочной диагонали (рис.2).

(+) (-)

Рис. 2

Вычислить определитель по правилу треугольника:.

Рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка.

Рассмотрим определитель:

.

Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пресечении которых стоит этот элемент. Обозначение минора.

Дата добавления: 2014-10-23