Пример 6. На первом шаге первую строку матрицы умно

Решение

Пример 5.

Пример 4.

Пример 3.

Замечание

Метод Гаусса решения СЛАУр

Пример 2.

Найти ранг матрицы.

Решение

~ ~

На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)

Поставим задачу: исследовать данную систему, т.е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.

На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера - Капелли.

Пусть дана матрица системы.

Рассмотрим расширенную матрицу системы

.

Теорема Кронекера – Капелли.

СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:

или.

Если и, где n – число неизвестных, то система определенна; если, то система неопределенна, если же, то система несовместна.

Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.

1. Выписывают расширенную матрицу системы

и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.

2. Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:

­– система совместна и определенна,

– система совместна и неопределенна,

– система несовместна.

Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:

1) С ~,,

следовательно, система определенна, имеет единственное решение,

2) С ~,

следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,

3) если какая-либо строка матрицы С имеет вид, то система несовместна (решений нет).

3. Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).

Исследовать и решить СЛАУр:.

Решение

Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения и.

~ ~

~,

Таким образом,, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и определенна.

Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:

Þ.

Таким образом,.

Исследовать и решить СЛАУр:.

Решение

~ ~

Так как, следовательно, система совместна и неопределенна (имеет бесчисленное множество решений).

Последней матрице соответствует система:

Þ

где и – произвольные параметры.

Исследовать и решить СЛАУр:

~ ~

Так как, то система несовместна (решений нет).

Исследовать и решить СЛАУр:.

Дата добавления: 2014-10-23