Непрерывность функции. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела

Пример

Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела

Пример

Раскрытие неопределенности вида

Рассмотрим отношение функций. Пусть – бесконечно малые функции (б.м.ф.) при, отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида.

Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него.

Чтобы раскрыть неопределенность вида, в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Вычислить предел.

Решение

При числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида. Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму, а квадратный трехчлен разложим на множители, найдя для этого его корни:

,

тогда,

.

Таким образом, получим:

.

Одна из форм записи второго замечательного предела

.

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида.

Вычислить предел.

Решение

Предел основания, а показатель степени при, т.е. имеет место неопределенность вида. Выделим целую часть основания степени

и применим второй замечательный предел:

, учитывая, что.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки.

Определение. Функция называется непрерывной в точке, если она имеет предел в точке и этот предел равен – значению функции в точке:

.

Таким образом, для того чтобы функция была непрерывна в точке, необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1) функция должна быть определена в точке;

2) должны существовать пределы функции при как слева, так и справа, т.е. и;

3) эти пределы должны быть равны между собой и равны значению функции в точке, т.е..

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что функция имеет разрыв в точке и точку называют точкой разрыва функции.

Точки разрыва следует искать среди точек, не входящих в область определения функции.

Классификация точек разрыва

Определение. Если в точке функция имеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке

или функция не определена, то точка называется точкой устранимого разрыва функции.

В этом случае функцию можно доопределить в точке так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить

.

Определение. Если в точке функция имеет конечные пределы слева и справа, причем, то точка называется точкой разрыва функции 1-го рода.

При переходе через точку значение функции претерпевает скачок, измеряемый разностью.

Определение. Точка называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен.

Дата добавления: 2014-10-23