Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Пример

Интегрирование тригонометрических выражений

Пример

Метод интегрирования по частям

Пример 4

Пример 3

Пример 2

Пример 1

Метод интегрирования подведением под знак дифференциала

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач

Функция называется первообразной для функции на интервале, конечном или бесконечном, если в любой точке этого интервала функция дифференцируема и имеет производную.

Совокупность всех первообразных для функции, определенных на интервале, называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом

.

Метод подведения под знак дифференциала следует из свойства инвариантности неопределенного интеграла.

Пусть дан интеграл. Справедливо равенство

,

где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция.

Таблица интегралов

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.
15.

При интегрировании методом подведения под знак дифференциала необходимо иметь в виду следующие равенства:

В общем случае

.

Найти интеграл.

Так как, то

.

Найти интеграл.

Так как, то

.

Найти интеграл.

Так как, то

Найти интеграл.

Так как, то

.

Пусть дан интеграл вида, где - непрерывно дифференцируемые функции. Справедлива формула интегрирования по частям

.

Таким образом, вычисление интеграла приводится к вычислению интеграла, который может оказаться более простым или табличным.

Пусть - многочлен степени n. Методом интегрирования по частям можно вычислить, например, интегралы вида:

1 группа:	2 группа:

Найти интеграл.

Решение

Положим, найдем,. Так как достаточно взять одну из первообразных, то принимаем. Применим формулу интегрирования по частям

.

Рассмотрим интеграл вида где R – рациональная функция своих аргументов.

Универсальная подстановка сводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби, при этом

,,.

Итак:

Найти интеграл.

Решение

Применим универсальную подстановку

,

получим

Пусть функция определена и непрерывная на отрезке и пусть, для определенности,

Разобьем отрезок на n частей произвольным образом точками деления:. Выберем на каждом частичном промежутке произвольным образом точки.

Обозначим Составим сумму, которая называется интегральной суммой для функции на отрезке.

Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через Перейдем к пределу при.

Если существует конечный предел, не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные и выбора на них точек, то он и называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Если – любая первообразная для функции, то справедлива формула Ньютона – Лейбница:

,

т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Дата добавления: 2014-10-23