Пример 3. Раскрытие неопределенности вида

Пример 2

Пример 1

Раскрытие неопределенности вида.

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной

Пример

Даны вершины треугольной пирамиды Найти:

1) угол между ребрами и;

2) площадь грани;

3) объем пирамиды;

4) длину высоты, опущенной из вершины на грань;

5) угол между ребром и гранью;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань.

Решение

А 4   А 2   В А 1 А 3 Рис. 2

1) Угол между ребрами и находим с помощью скалярного произведения векторов по формуле , найдем координаты векторов   тогда косинус угла между векторами .

2) Площадь грани находим с помощью векторного произведения векторов. Найдем координаты вектора, тогда площадь треугольника находим по формуле

.

Найдем векторное произведение векторов

модуль векторного произведения равен

,

откуда находим площадь треугольника

3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле

,

так как выше найдены координаты векторов

,

подставим координаты векторов в формулу, получим

.

4) Для нахождения длины высоты h, опущенной из вершины на грань применим формулу

,

откуда находим

5) Общее уравнение плоскости:

,

нормальный вектор плоскости.

Уравнение высоты:.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:.

В нашем случае, тогда уравнение высоты имеет вид

3.1. Вычислить предел

3.2. Вычислить предел.

3.3. Вычислить предел.

3.4. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва.

3.5. Найти производную функции.

3.6. Найти производную функции

3.7. Найти производную функции, применяя метод логарифмического дифференцирования.

3.8. Найти производную функции, заданной неявно:.

3.9. Найти производную функции, заданной параметрически:.

3.10. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции.

Рассмотрим отношение функций. Пусть – бесконечно большие функции (б.б.ф.) при, отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида. Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность).

Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.

,

так как при каждая из дробей стремится к нулю.

.

.

Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен ¥, если степень числителя больше степени знаменателя.

Дата добавления: 2014-10-23