Производная функции, заданной неявно

Пример

Метод логарифмического дифференцирования

Пример

Производная сложной функции

Пример

Правила дифференцирования

Правила дифференцирования

Пример

В точках и для функции установить характер точек разрыва.

Решение

Область определения функции. Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точек и, которые не входят в область определения функции.

Исследуем точку, находя ее односторонние пределы в этой точке:

если, то, тогда предел слева,

если, то, тогда предел справа.

Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв 1-го рода (скачок функции).

Исследуем точку, находя ее односторонние пределы в этой точке:

если, то, тогда,

если, то, тогда.

Так как односторонние пределы равны, то в точке функция имеет разрыв 2-го рода.

Определение. Производной функциив данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при, если он существует.

По определению

.

Таблица производных

№		№
	,

1. Производная постоянной равна нулю:.

2.

Теорема. Если каждая из функций и дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

1),

2),

3).

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции.

Решение

Пусть дана сложная функция где или.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, а функция дифференцируема в точке, тогда сложная функция дифференцируема в точке, причем

или

Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функций. Так, если, или и существуют производные, то.

Найти производную функции.

Решение

Здесь,

, тогда.

Метод логарифмического дифференцирования удобен для нахождения производной показательной функции, показательно – степенной функции, а также, если функция представляет собой выражение вида. Этот метод состоит в следующем: данное выражение сначала логарифмируют по основанию е, а затем дифференцируют как тождество, получая уравнение для нахождения производной.

Найти производную функции применяя метод логарифмического дифференцирования.

Решение

Здесь основание и показатель степени зависит от х. Логарифмируем обе части равенства по основанию е:

,

применяя свойства логарифмов, получим

.

Продифференцируем обе части последнего равенства по х, рассматривая у как функцию х:

,

умножим обе части равенства на у и подставим вместо у его выражение, получим

.

Дифференцирование функций, заданных неявно, опирается на возможность почленного дифференцирования тождеств.

В общем случае уравнение почленно дифференцировать нельзя.

Пусть функция задана неявно уравнением и известно, что существует решение этого уравнения в виде; подставив это решение в уравнение, получим тождество.

Продифференцировав по х, получим уравнение для нахождения производной.

Дата добавления: 2014-10-23