Решение. Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пример. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки .

Первый способ решения. По координатам заданных точек вычисляем координаты векторов и :

Найдем векторное произведение векторов и , при этом не будем подробно расписывать вычисление определителя:

Следовательно, нормальным вектором плоскости, проходящей через три заданные точки, является вектор .

Теперь записываем уравнение плоскости, проходящей через точку (можно взять точку М₂ или М₃) и имеющей нормальный вектор . Оно имеет вид . Так мы получили общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Второй способ решения. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , записывается как . Из условия задачи имеем . Тогда

Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид .

Ответ. .

В заключении рассмотрим решение примера, в котором требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, которые лежат на одной прямой. Сразу отметим, что эта задача не корректна (то есть, имеет не единственное решение), так как существует бесконечное множество плоскостей, проходящих через заданную прямую. Обычно такие задачи получаются из-за опечатки в условии. Такую задачу мы приводим лишь для того, чтобы вы посмотрели, что происходит при ее решении разобранными способами, и знали, как быть в этом случае.

Пример. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы три точки . Составьте уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Дата добавления: 2014-10-31