Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом ис­пытании постоянна (см. раздел 17.5). В качестве дискретной случайной величины Х рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что x ₁ = 0, x ₂ = 1, x ₃ = 2,..., x_{n+ 1} = n. Вероятности этих возможных значений k даются фор­мулой Бернулли (см. формулу (17.16)):

где q = 1 - р — вероятность противоположного события (непо­явление события А в одном испытании). Формула (18.2) пред­ставляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в n незави­симых испытаниях), которое называется биномиальным. Этот закон получил свое название потому, что правая часть в (18.2) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона (17.2). Таким образом, табличная форма биномиального закона с учетом формулы (18.2) имеет вид

Можно показать, что сумма всех вероятностей второй стро­ки этой таблицы равна единице, т.е.

Пример 4. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозвра­та кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вер­нувших кредит по окончании срока кредитования.

Решение. Примем за А событие невозврата кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу 5 кредитов можно считать за 5 независимых событий. Вероятность невоз­врата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределе­нием (18.2), где р = 0,2, q = 0,8, k принимает значения от нуля до 5. Искомая таблица закона распределения составляется, со­гласно (18.3), при п = 5:

или окончательно:

Дата добавления: 2014-10-15