Г. Стаханов 3 страница

Пример 5.1. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что за время t из 100 конденсаторов выйдут из строя: а) 18 конденсаторов; б) не менее 16 и не более 26 конденсаторов.

Решение. а) по условию p=0.2; n=100; m=18; g=1-0,2=0,8. Поскольку n=100 – достаточно большое число, применим локальную теорему Муавра-Лапласа. Найдём значение

. Искомая вероятность .

По таблице значений функции найдём . Следовательно,.

Б) по условию m₁=16, m₂=26; n=100; p=0,2; g=0,8. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа. Вычислим значения .Учитывая, что функция Лапласа нечётная, получаем .

По таблице значений функции Лапласа найдём Ф(1,5)=0,4332; Ф91)=0,3413. Искомая вероятность .

Пример 5.2. Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты произойдёт три обрыва нити.

Решение. По условию n=1000; m=3; p=0.004. Поскольку вероятность появления события в одном испытании мала, а число испытаний достаточно велико, воспользуемся формулой Пуассона (5.1.): . При вычислении использовали таблицу значений функции Пуассона .

Пример 5.3. Вероятность того, что деталь стандартная, p=0,9. Сколько нужно отобрать деталей, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что относительная частота появления стандартных деталей (среди отобранных) будет отличаться от вероятности p по абсолютной величине не более чем на 0,037.

Решение. По условию p=0,9; g=0,1; ; . Найти n. Воспользуемся формулой (5.2): . Введём обозначение . Тогда 2Ф(t)=0,9876; Ф(t)=0,4938. По таблице значений функции Лапласа найдём Ф(2,5)=0,4838. Следовательно, t=2,5, т.е. . Для нахождения n получено уравнение . Отсюда искомое число n=625.

Варианты задачи 6.

Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится m раз, если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна р.

6.1.	a)	n=100	m=78	p=0,8
б)	n=500	m=2	p=0,002
6.2.	a)	n=400	m=46	p=0,1
б)	n=1000	m=5	p=0,04
6.3.	a)	n=400	m=310	p=0,8
б)	n=500	m=3	p=0,004
6.4.	a)	n=243	m=75	p=0,25
б)	n=800	m=1	p=0,001
6.5.	a)	n=900	m=825	p=0,9
б)	n=300	m=5	p=0,02
6.6.	a)	n=225	m=188	p=0,8
б)	n=400	m=7	p=0,02
6.7.	a)	n=625	m=380	p=0,6
б)	n=200	m=3	p=0,01
6.8.	a)	n=200	m=50	p=0,3
б)	n=2000	m=2	p=0,02
6.9.	a)	n=100	m=80	p=0,75
б)	n=1000	m=4	p=0,005
6.10.	a)	n=300	m=120	p=0,4
б)	n=350	m=8	p=0,02
6.11.	a)	n=400	m=65	p=0,2
б)	n=500	m=2	p=0,06
6.12.	a)	n=100	m=83	p=0,8
б)	n=450	m=8	p=0,02
6.13.	a)	n=200	m=95	p=0,5
б)	n=3000	m=2	p=0,01
6.14.	a)	n=300	m=75	p=0,25
б)	n=1500	m=4	p=0,002
6.15.	a)	n=100	m=64	p=0,6
б)	n=600	m=5	p=0,01
6.16.	a)	n=300	m=230	p=0,75
б)	n=700	m=2	p=0,001
6.17.	a)	n=200	m=135	p=0,7
б)	n=250	m=1	p=0,004
6.18.	a)	n=200	m=153	p=0,8
б)	n=4000	m=6	p=0,001
6.19.	a)	n=144	m=75	p=0,5
б)	n=2000	m=3	p=0,001
6.20.	a)	n=400	m=190	p=0,5
б)	n=3000	m=4	p=0,001
6.21.	a)	n=300	m=217	p=0,75
б)	n=100	m=3	p=0,02
6.22.	a)	n=150	m=50	p=0,4
б)	n=500	m=6	p=0,01
6.23.	a)	n=200	m=65	p=0,3
б)	n=1000	m=2	p=0,003
6.24.	a)	n=144	m=122	p=0,8
б)	n=800	m=5	p=0,05
6.25.	a)	n=100	m=34	p=0,4
б)	n=300	m=4	p=0,01
6.26.	a)	n=300	m=155	p=0,5
б)	n=200	m=6	p=0,02
6.27.	a)	n=250	m=195	p=0,8
б)	n=400	m=2	p=0,002
6.28.	a)	n=196	m=90	p=0,5
б)	n=5000	m=3	p=0,001
6.29.	a)	n=400	m=290	p=0,7
б)	n=1000	m=4	p=0,006
6.30.	a)	n=200	m=35	p=0,2
б)	n=250	m=3	p=0,02

Варианты задачи 7.

Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится: а) не менее m₁ раз и не более m₂ раз; б) не более m₃ раз; в) не менее m₄ раз, если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна р.

7.1.	n=400	m1=265	m2=290	m3=275	m4=291	p=0,7
7.2.	n=100	m1=75	m2=85	m3=74	m4=86	p=0,8
7.3.	n=300	m1=220	m2=235	m3=219	m4=236	р=0,75
7.4.	n=225	m1=40	m2=51	m3=38	m4=52	р=0,2
7.5.	n=245	m1=140	m2=155	m3=139	m4=150	р=0,6
7.6.	n=900	m1=80	m2=99	m3=89	m4=100	р=0,1
7.7.	n=200	m1=93	m2=104	m3=92	m4=110	р=0,5
7.8.	n=400	m1=350	m2=369	m3=355	m4=370	р=0,9
7.9.	n=625	m1=495	m2=510	m3=494	m4=505	р=0,8
7.10.	n=500	m1=145	m2=160	m3=144	m4=161	р=0,3
7.11.	n=100	m1=46	m2=53	m3=45	m4=58	р=0,5
7.12.	n=300	m1=70	m2=81	m3=73	m4=84	р=0,25
7.13.	n=400	m1=310	m2=328	m3=309	m4=325	р=0,8
7.14.	n=250	m1=94	m2=108	m3=95	m4=110	р=0,4
7.15.	n=200	m1=115	m2=130	m3=114	m4=131	р=0,6
7.16.	n=150	m1=26	m2=36	m3=28	m4=37	р=0,2
7.17.	n=100	m1=85	m2=94	m3=84	m4=95	р=0,9
7.18.	n=400	m1=270	m2=285	m3=275	m4=286	р=0,7
7.19.	n=200	m1=53	m2=64	m3=52	m4=65	р=0,3
7.20.	n=144	m1=110	m2=120	m3=109	m4=118	р=0,8
7.21.	n=300	m1=140	m2=155	m3=139	m4=156	р=0,5
7.22.	n=100	m1=54	m2=63	m3=55	m4=64	р=0,6
7.23.	n=225	m1=172	m2=185	m3=171	m4=183	р=0,8
7.24.	n=250	m1=140	m2=155	m3=139	m4=156	р=0,6
7.25.	n=196	m1=93	m2=105	m3=92	m4=106	р=0,5
7.26.	n=150	m1=56	m2=66	m3=55	m4=67	р=0,4
7.27.	n=900	m1=800	m2=819	m3=799	m4=820	р=0,9
7.28.	n=100	m1=65	m2=76	m3=64	m4=77	р=0,7
7.29.	n=400	m1=196	m2=207	m3=195	m4=208	р=0,5
7.30.	n=900	m1=170	m2=725	m3=705	m4=725	р=0,8

Варианты задачи 8.

8.1.-8.10. Вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна р. Найти вероятность того, что относительная частота появления события А будет отличаться от его вероятности по абсолютной величине не более чем на .

8.1.	n=625	р=0,8	=0,02
8.2.	n=400	р=0,5	=0,03
8.3.	n=900	р=0,2	=0,02
8.4.	n=1225	р=0,2	=0,01
8.5.	n=100	р=0,8	=0,04
8.6.	n=400	р=0,75	=0,02
8.7.	n=1500	р=0,6	=0,01
8.8.	n=100	р=0,9	=0,045
8.9.	n=1200	р=0,25	=0,015
8.10.	n=600	р=0,4	=0,03

8.11.-8.20. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна р. Сколько нужно провести испытаний, чтобы можно было ожидать с вероятностью , что относительная частота появления события А будет отличаться от его вероятности по абсолютной величине не более чем на ?

8.11.	р=0,5	=0,92	=0,01
8.12.	р=0,6	=0,993	=0,03
8.13.	р=0,9	=0,98	=0,04
8.14.	р=0,8	=0,99	=0,05
8.15.	р=0,5	=0,97	=0,02
8.16.	р=0,75	=0,98	=0,01
8.17.	р=0,9	=0,95	=0,02
8.18.	р=0,25	=0,95	=0,04
8.19.	р=0,7	=0,99	=0,05
8.20.	р=0,8	=0,9	=0,03

8.21.-8.30. Вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна р. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью можно было ожидать, что относительная частота появления события А будет отличаться от его вероятности по абсолютной величине не более чем на .

8.21.	n=600	р=0,6	=0,993
8.22.	n=620	р=0,5	=0,9973
8.23.	n=400	р=0,8	=0,95
8.24.	n=200	р=0,9	=0,95
8.25.	n=675	р=0,75	=0,9973
8.26.	n=1200	р=0,25	=0,99
8.27.	n=900	р=0,2	=0,9676
8.28.	n=100	р=0,1	=0,9
8.29.	n=625	р=0,8	=0,99
8.30.	n=1600	р=0,5	=0,92

6. ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ.

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Простейшим (пуассоновским) называется поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последствия и ординарности.

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления m событий на любом промежутке времени зависит только от числа m и от времени t, и не зависит от начала его отсчёта.

Свойство отсутствия последствия состоит в том, что вероятность появления m событий на любом промежутке времени не зависит от того, сколько событий появилось в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Свойство ординарности состоит в том, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно, т.е. за малый промежуток времени может появиться не более одного события потока.

Интенсивность потока называется среднее число событий, которые появляются за единицу времени.

Если известна постоянная интенсивность потока, то вероятность появления m событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона: . (6.1.)

Пример 6.1. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за три минуты поступит: а) четыре вызова; б) менее четырёх вызовов; в) не менее четырёх вызовов. Предполагается, что поток вызовов простейший.

Решение. По условию =2; t=3; m=4. Воспользуемся формулой Пуассона (6.1.):

а) вероятность того, что за 3 минуты поступит четыре вызова: .

При вычислении использовали таблицу значений функции Пуассона.

б) событие «поступило менее четырёх вызовов» произойдёт, если наступит одно из следующих несовместных событий: 1) не поступило ни одного вызова; 2) поступил один вызов; 3) поступило два вызова; 4) поступило три вызова. Применим теорему сложения вероятностей для несовместных событий:

в) событие «поступило менее четырёх вызовов» и «поступило не менее четырёх вызовов» противоположны, поэтому вероятность того, что за три минуты поступит не менее четырёх вызовов, .

Варианты задачи 9.

9.1.-9.6. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час, равно . Найти вероятность того, что за время t часов поступит: а) m заявок; б) менее m заявок; в) не менее m заявок. Предполагается, что поток заявок простейший.

9.1.	=2	t=2	m=3	9.2.	=4	t=2	m=6
9.3.	=3	t=3	m=5	9.4.	=6	t=1	m=7
9.5.	=5	t=2	m=6	9.6.	=7	t=1	m=5

9.7.-9.12. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт за 1 минуту равно . Найти вероятность того, что за t минут поступит: а) m заказов; б) менее m заказов; в) не менее m заказов. Предполагается, что поток заказов простейший.

9.7.	=1	t=5	m=4	9.8.	=2	t=3	m=6
9.9.	=4	t=1	m=3	9.10.	=3	t=2	m=5
9.11.	=2	t=4	m=4	9.12.	=1	t=3	m=4

9.13-9.18. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно . Найти вероятность того, что за t минут поступит: а) m вызовов; б) менее m вызовов; в) не менее m вызовов. Предполагается, что поток вызовов простейший.

9.13.	=2	t=3	m=5	9.14.	=4	t=2	m=7
9.15.	=1	t=7	m=4	9.16.	=5	t=1	m=6
9.17.	=3	t=1	m=4	9.18.	=1	t=4	m=5

9.19-9.24. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 час, равно . Найти вероятность того, что за t часов в порт зайдут: а) m кораблей; б) менее m кораблей; в) не менее m кораблей. Предполагается, что поток кораблей простейший.

9.19.	=4	t=2	m=5	9.20.	=3	t=3	m=6
9.21.	=5	t=2	m=4	9.22.	=7	t=1	m=6
9.23.	=6	t=1	m=5	9.24.	=2	t=4	m=7

9.25.-9.30. Среднее число вызовов, поступающих на пункт неотложной медицинской помощи за 1 минуту, равно . Найти вероятность того, что за t минут поступит: а) m вызовов; б) менее m вызовов; в) не менее m вызовов. Предполагается, что поток вызовов простейший.

9.25.	=1	t=6	m=5	9.26.	=2	t=2	m=6
9.27.	=2	t=4	m=6	9.28.	=2	t=5	m=5
9.29.	=1	t=2	m=3	9.30.	=3	t=2	m=4

7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Дата добавления: 2014-10-31