Линейные операции над векторами

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Пусть даны два вектора = (a₁, a₂, a₃) и = (b₁, b₂, b₃).

Суммой векторов и является вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов и : с₁=а₁+b₁, c₂=a₂+b₂, c₃=a₃+b₃.

Геометрически можно показать, что для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора , тогда вектор будет направлен от начала первого вектора к концу второго.

+

Замечание. Вычитание векторов, как и в арифметике, есть действие обратное сложению, т.е. вычесть из вектора вектор- это значит, что к вектору нужно прибавить вектор, противоположный вектору : - = + (- )= = (а₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃).

Определение. Произведением вектора ¹0 на число a¹0 называется вектор , координаты которого соответственно равны (aа₁,aа₂,aа₃).

Геометрический смысл умножения вектора на число состоит в том, что его длина изменяется в a раз : уменьшается, если |a|< 1 и увеличивается, если |a|> 1. При этом коллинеарен , причем вектор сонаправлен с вектором (­­), если a > 0 и вектор противоположно направлен с вектором (­¯), если a < 0.

Основные свойства линейных операций векторов.

Пусть , и - любые векторы, а a и b - любые числа.

1) + = + - коммутативность сложения векторов (переместительное свойство).

2) + (+ ) = (+ )+ - ассоциативность сложения векторов (сочетательное свойство).

3) + =

4) +(-1) =

5) (a×b)= a(b) – ассоциативность относительно числовых множителей (сочетательное свойство умножения).

6) (a+b)= a+ b- дистрибутивность относительно суммы чисел (распределительное свойство).

7) a(+ ) = a+ a- дистрибутивность относительно суммы векторов (распределительное свойство).

8) 1×=

Пусть даны два вектора = (a₁, a₂, a₃) и = (b₁, b₂, b₃). Из определения коллинеарности векторов и определения произведения вектора на число вытекает, что (теорема): векторы и коллинеарны т. и т.т., если их координаты пропорциональны:

ççÛ (2.1) Условие коллинеарности двух векторов.

Доказательство:

I) Пусть ççÞ = a, т.е. (a₁, a₂, a₃) = (ab₁, ab₂, ab₃) Þ a₁=ab₁

a₂=ab₂ Þ (2.1)

a₃=ab₃

II) Пусть =a, тогда a₁=ab₁

a₂=ab₂ Þ = a, т.е. çç.

a₃=ab₃

Дата добавления: 2014-10-31