Операции над векторами. Понятие вектора известно из школьного курса

Основные понятия

ВЕКТОРЫ, ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Понятие вектора известно из школьного курса. Наиболее часто мы будем пользоваться координатной формой записи векторов: . Напомним, что всегда вектор предполагается свободным, т.е. его можно без изменения длины и направления переносить в любую точку пространства. В случае координатного задания вектора его длина вычисляется по формуле:

. (4.1)

Направление же вектора определяется углами a, b, g, образованными вектором с положительными полуосями координат Ох, Оу, Oz, которые можно найти из формул для направляющих косинусов этих углов:

(4.2)

Произведение вектора на скалярный множитель l определяется по формуле l = ( l а₁, l а₂, l а₃).

Для двух векторов , их сумма и разность определяются по правилам:

Геометрически сумма и разность векторов строится как на рисунке:

Если точка О - начало координат, а М - точка с координатами (x, y, z), то вектор называется радиусом-вектором точки М.

Вектор с началом в точке А (x ₁, y ₁, z ₁) и концом в точке В (x ₂, y ₂, z ₂) в координатном виде записывается так: =.

Примеры.

а) В треугольнике АВС сторона АВ точками М и N разделена на три равные части: Найти вектор , если . Если построить треугольник и указанные вектора, то из геометрических правил сложения и вычитания легко получаются равенства т.е. . Так как , то Та-ким образом,

б) Найти длину вектора = (10, 15, -30) и его направляющие косинусы.

По формулам (4.1) и (4.2) определяем

3) Найти вектор , если А (2, 1, 0) и В (3, 0, 5).

Из формулы для координат вектора имеем = (3-2, 0-1, 5-0) =

= (1, -1, 5).

Дата добавления: 2014-10-31