Определение и свойства. Задачи для самостоятельного решения

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Задачи для самостоятельного решения

а) Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что Найти вектор если = ,

б) Найти координаты вектора где А (0, 0, 1), В (3, 2, 1), С (4, 6, 5), D (1, 6, 3).

в) Даны радиусы - векторы вершин треугольника АВС:

Показать, что треугольник АBC - равносторонний.

г) Вычислить длину вектора (1, 2, 1) и найти его направляющие косинусы.

д) Даны точки А (1, 2, 3) и В (3, -4, 6). Найти длину и направление вектора .

Пусть даны два вектора и .Тогда их скалярное произведение определяется из равенства , где j - угол между этими векторами.

Если векторы заданы в координатной форме , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

а) ;

б) если ^ (ортогональные вектора), то = 0;

в) ;

г) ;

д) , где λ- любое число.

Примеры.

а) Найти скалярное произведение векторов = (2, 1, 1) и = (2, -5, 1).

Из определения имеем = .

б) Даны вектор = (m, 3, 4) и вектор = (4, m, -7). При каких значениях m вектор ортогонален вектору ?

Из условий ортогональности имеем: = 4 m + 3 m -28 = 0,

7 m = 28, m = 4.

в) Найти , если и ^ .

Из свойств скалярного произведения имеем: ,

т.к. ^ , тогда

г) Определить угол между векторами = (1, 2, 3) и = (0, 4, -2).

Так как Из координатного представления векторов находим 0+8-6=2,

Дата добавления: 2014-10-31