Определение и свойства

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Задачи для самостоятельного решения

а) Даны векторы = (-1, 3, 2) и = (2, 1, 1). Найти координаты векторов: 1) ; 2) .

б) В треугольнике с вершинами А (1, -1, 2), В (5, -6,2), С (1, 3, -1) найти высоту h = .

в) Найти координаты вектора , если он ортогонален векторам

= (2, 1, -3) и = (1, 3, -2), а также удовлетворяет условию (1, -7, 2)=10.

Смешанным произведением трех векторов

называется число

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

а) , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);

б)

г) объем параллелепипеда, построенного на векторах и , равен

Примеры.

а) Найти смешанное произведение векторов =(5, 7, 2), = (1, -1, 1),

= (2, 2, 1).

Из определения имеем

= -5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора и компланарны.

б) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (2, 2, 2),

В (4, 3, 3), С (4, 5, 4), D (5, 5, 6).

Из свойств смешанного произведения заключаем, что искомый объем равен

в) Вычислим

Используя определение смешанного произведения и свойства векторного и скалярного произведений получаем

г) По координатам вершин пирамиды найти: 1) длины ребер и 2) угол между ребрами и 3) площадь грани 4) объем пирамиды

Находим векторы и

Длины векторов, т.е. длины ребер и , таковы:

Скалярное произведение векторов и равно

а косинус угла между ними:

Отсюда следует, что - тупой угол, равный (рад.) с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами и

Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:

Следовательно,

Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Вектор Итак,

Дата добавления: 2014-10-31