Признак перпендикулярности двух плоскостей

Двугранный угол

Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости

Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.

На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.

	а -–ребро двугранного угла, полуплоскости -–грани его.
	Угол АОВ -–линейный угол двугранного угла. Чтобы его построить, нужно выбрать произвольную точку О на ребре, а лучи ОА и ОВ должны быть перпендикулярны к ребру.

Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90^o (меньше 90^o, больше 90^o). Пусть - тот из углов, который не превосходит любого из трёх остальных углов. Тогда угол между пересекающимися плоскостями равен. (0^o< 90^o)

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o.

Если одна из двух плоскостей () проходит через прямую (а), перпендикулярную другой плоскости (), то такие плоскости перпендикулярны.

§2. Практическая часть

Задача № 1 Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости а, а точки О, В, С и D лежат в плоскости а. Какие из следующих уг лов являются прямыми: ∠АОВ, ∠МОС, ∠DAM, ∠DOA, ∠ВМО? Решение: а ⊥ α, поэтому а перпендикулярна любой прямой, лежащей в пл. α. Чтобы прямая принадлежала пл. α, достаточно, чтобы 2 точки прямой принадлежали пл. α.       Ответ: прямые углы:

Задача 2. Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что: a) AB = DB; б) AB=AC, если ОВ=ОС; в) OB = OC, если АВ=АС.

Решение:

а) Рассмотрим ΔABD.

поэтому

- по двум катетам,

б) Рассмотрим ΔАОВ и ΔАОС.

- по определению;

- по условию; - общая.

Треугольники АОВ и АОС равны по двум катетам. Отсюда:

в) Т.к. АВ = АС, то прямоугольные треугольники АОВ и АОС равны по гипотенузе и катету (АО -–общий катет), поэтому

Что и требовалось доказать.

Задача № 3.

Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОK = b.

Дата добавления: 2014-10-15