Объем пирамиды

h – высота

S – площадь основания

скость

Площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть дана правильная пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник со стороной, равной а. Пусть h -–высота боковой грани, называется также апофемой пирамиды. Площадь одной боковой грани равна 1/2ah, а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную n/2ha.Так как na -–периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности, то просто к боковой прибавляем площадь основания.

S_пол = S_бок + S_осн

§2. Практическая часть

Многогранники.

Примеры

1. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми и

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

— боль­шая диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ее длина равна его удво­ен­ной сто­ро­не. По­это­му. По­сколь­ку имеем:

Ответ: 5.

2. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка – центр ос­но­ва­ния, – вер­ши­на,,. Най­ди­те бо­ко­вое ребро.

Ре­ше­ние.
В пра­виль­ной пи­ра­ми­де вер­ши­на про­еци­ру­ет­ся в центр ос­но­ва­ния, сле­до­ва­тель­но яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 17.

3. Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го =4, =3, =5. Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Так как = = то тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, зна­чит, углы при его ос­но­ва­наяравны по.

Ответ: 45.

4. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де – се­ре­ди­на ребра, – вер­ши­на. Из­вест­но, что =5, а =6. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.
От­ре­зок яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, а зна­чит, и его вы­со­той. Тогда

Ответ: 45.

5. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 9; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка.

Ре­ше­ние.
От­ре­зок вы­со­той тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, ее объем вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

Таким об­ра­зом,

Ответ: 2.

6. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де известно, что Най­ди­те длину ребра.

Ре­ше­ние.
По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда длина ребра равна

Ответ: 5.

7. Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми А и D пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA = 3.

Ре­ше­ние.
Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ник в ко­то­ром яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью, = По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Зна­чит, AD = 5.

Ответ: 5.

8. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме, все ребра ко­то­рой равны 8, най­ди­те угол между пря­мы­ми и. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

От­рез­ки D ₁ E ₁, DE и AB лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми FA и E ₁ D ₁ равен углу между пря­мы­ми FA и AB.

По­сколь­ку угол FAB между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­каравен 120°, смеж­ный с ним угол между пря­мы­ми FA и AB равен 60°.

Ответ:60.

9. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что,, Най­ди­те длину диа­го­на­ли

Ре­ше­ние.
Най­дем диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Ответ: 3.

10. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла

Ре­ше­ние.
Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник катет ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся боль­шей диа­го­на­лью ос­но­ва­ния. Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­каравна его удво­ен­ной сто­ро­не:. По­сколь­ку имеем:

Ответ: 2.

Домашняя работа № 6

1. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра.

2. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де точка – се­ре­ди­на ребра, – вер­ши­на. Из­вест­но, что =3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 45. Най­ди­те длину от­рез­ка.

3. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер:,,. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны, и.

4. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 3 и 5. Объем приз­мы равен 30. Най­ди­те ее бо­ко­вое ребро.

5. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка – центр ос­но­ва­ния, – вер­ши­на,,. Най­ди­те бо­ко­вое ребро.

Зачетная работа № 2

1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка K – се­ре­ди­на ребра BC, S – вер­ши­на. Из­вест­но, что SK = 4, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 54. Най­ди­те длину ребра AC.

1. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми и.

1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 2; объем пи­ра­ми­ды равен 4. Най­ди­те длину от­рез­ка.

1. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра.

5. Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го,,. Дайте ответ в гра­ду­сах.

1. В кубе най­ди­те угол между пря­мы­ми и. Ответ дайте в гра­ду­сах.

ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

1. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если все ее ребра уве­ли­чить в 40 раз?

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му, если все ребра уве­ли­че­ны в 40 раз, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 1600 раз.

Ответ: 1600.

2. Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Пусть ребро куба равно, тогда пло­щадь по­верх­но­сти куба, а диа­го­наль куба. Тогда

.

Ответ: 3.

3. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда длина ребра равна

Ответ: 4.

4. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 2; объем пи­ра­ми­ды равен 5. Най­ди­те длину от­рез­ка.

Ре­ше­ние.

От­ре­зок вы­со­той тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, ее объем вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

Таким об­ра­зом,

Ответ: 7,5.

5. Объем куба равен 8. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его ребро как, а объем — как. От­сю­да видно, что пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его объем как. От­сю­да на­хо­дим, что

.

Ответ: 24.

6. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 9; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка.

Ре­ше­ние.

От­ре­зок вы­со­той тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, ее объем вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

Таким об­ра­зом,

Ответ: 2.

7. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка – центр ос­но­ва­ния, – вер­ши­на, =12, =18. Най­ди­те бо­ко­вое ребро

Ре­ше­ние.

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де вер­ши­на про­еци­ру­ет­ся в центр ос­но­ва­ния, сле­до­ва­тель­но яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 15.

8. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, вы­со­та приз­мы равна 10. Най­ди­те пло­щадь ее по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Тре­тья сто­ро­на тре­уголь­ни­кав ос­но­ва­наяравна 10 и его пло­щадь Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы с пе­ри­мет­ром ос­но­ва­ния равна

.

Пол­ная пло­щадь по­верх­но­сти:

Ответ: 288.

Глава IV. Тела вращения

аудиторные часы -–8 часов

самостоятельная работа – 4 часа

§1. Краткие теоретические сведения

Цилиндр

Ц илиндр – тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг стороны.

· прямая OO - ось цилиндра

· отрезок OO -–высота,

· отрезок АА = ВВ - образующая

· круг (О,ОВ) = кругу (O, O В) – основание цилиндра

· осевое сечение (проходит через ось) есть прямоугольник

· сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник

· сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, представляет собой круг

· призмой вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие.

· Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость проходящая

· через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Призма описана около цилиндра, если у нее плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту

V=SH

Дата добавления: 2014-10-15