Контрольной работы. Методические рекомендации для выполнения

Методические рекомендации для выполнения

Тема «Элементы линейной алгебры»

Знакомство с использованием определителей начните с простейшего случая решения и исследования системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучите свойства определителя второго, а затем третьего порядка.

Особое внимание обратите на то, что вычисление определителей упрощается, если умело пользоваться свойствами определителей.

При изучении вопросов, связанных с исследованием систем линейных алгебраических уравнений, не упустите из виду случай, когда главный определитель системы равен нулю. В этой ситуации формулы Крамера теряют смысл и соответствующие системы уравнений либо несовместны, либо имеют бесчисленное множество решений.

Пример №1: Используя формулы Крамера, решить систему и сделать проверку.

x – 2y + z = 4,

2x + y + 3z = 5

3x + 4y+ z = –2.

Подсчитаем главный определитель системы D, используя правило вычисления определителей третьего порядка.

Имеем:

1 –2 1

D = 2 1 3 = 1* (1–12) + 2 * (2 – 9) +1 * (8 – 3) = – 20.

3 4 1

Так как D ≠ 0, то система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители: D_х, D_у, D_z.

4 –2 1

D_x = 5 1 3 = 4 * (1 -12) – (–2) * (5+6) +1 * (20+2) = 0;

–2 4 1

1 4 1

D_y = 2 5 3 = 1*(5 + б) – 4*(2 – 9) + 1*(– 4 – 15) = 20;

3 -2 1

1 -2 4

D_z = 2 1 5 = 1*(−2 – 20) – (– 2) *(–4 –15) + 4*(8 – 3) = – 40.

3 4 –2

Найдем неизвестные по формуле Крамера:

x = = 0; y = = – 1; z = = 2.

Проверка осуществляется путем подставления полученного решения в каждое уравнение системы:

0 – 2 *(–1) + 2 = 4

2*0 + (–1) + 3*2 = 5

3*0 + 4*(–1) +2 = -2

Все три равенства верные, следовательно, ответ имеет вид(0; –1; 2).

Тема «Элементы аналитической геометрии»

При изучении этой темы, прежде всего, следует усвоить понятие уравнения линии. Подобно тому, как точка в аналитической геометрии определяется координатами, линия определяется уравнением, связывающим координаты любой точки этой линии. Прямая линия является простейшей из линий на плоскости. Изучите различные способы нахождения уравнения прямой, а также плоскости.

Успех решения задач во многом зависит от умелого выбора соответствующего вида уравнения прямой и плоскости.

Пример №1:

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-1;2), В(5;-1), С(-4;-5).

1) Расстояние l между точками M₁ (х_1;у₁) и М₂ (х₂;у₂) находим по формуле: l = |М₁ М₂| = (x₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)².

По этой формуле находим длину стороны АВ:

AB| = = = 3 .

2) Уравнение прямой, проходящей через две точки плоскости M₁ (x₁; y₁) и М₂ (х₂; у₂) имеет вид

(1)

Подставляя в это уравнение координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

Угловой коэффициент k_АB прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx + b.

Получим: 2у = -х+3 => y= – .

Следовательно, k_AB = – .

Аналогично находим: k_BC = .

3) Для нахождения внутреннего угла треугольника ABC воспользуемся формулой: tgB = .

Отметим, что порядок разности угловых коэффициентов, стоящей в числителе дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС. Подумайте, как бы вы стали искать внутренние углы А и С треугольника ABC?

Подставим значения k_АВ и kвс в формулу. Находим:

tgB =

По таблицам В.М. Брадиса или на инженерном микрокалькуляторе получаем B 50°.

4) Для составления уравнения медианы AM найдем сначала координаты точки М, которая является серединой отрезка ВС.

X_M =

y_M =

Теперь подставим в (1) координаты точек А и М, получаем уравнение медианы:

5) Для составления уравнения высоты CD, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку M₀ (x₀; y₀) с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид

y − y_o= k*(x - x_o) (2)

и условием перпендикулярности АВ и CD, которое выражается соотношением

.

Подставим в (2) получим уравнение высоты СD: (CD).

Используя полученные результаты, начертим треугольник АВС на координатной плоскости:

Тема «Вычисление пределов»

При изучении этой темы следует обратить внимание на понятие функции и изучить ее свойства. Познакомиться со всеми элементарными функциями (линейными, степенными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими).

Особое внимание уделить пределу функции в точке и на бесконечность и понятию непрерывной функции.

После подробного изучения свойств пределов, I и II замечательных пределов, следует приступить к непосредственному вычислению пределов элементарных функций и их композиций, учитывая, что под знаком предела можно производить тождественные преобразования выражения.

Пример №1. Вычислить предел:

Пример №2. Вычислить предел:

Решение: т.к.

,

то

Следовательно, =

Пример №3.

Вычислить предел: =

Тема «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

В основе этой темы лежит понятие производной. Особое внимание следует обратить на геометрическое и механическое истолкование производной. Особую роль при решении задач играет правило вычисления производной сложной функции.

При дифференцировании некоторых функций нередко значительно упрощает вычисление прием, состоящий в том, что перед вычислением производной функцию предварительно логарифмируют.

При решении всех последующих примеров, кроме таблицы производных, используются правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и теорема о производной сложной функции:

a)

б) ;

в) ;

г)

Пример№1. Дана функция: y = .

Вычислить производную функции.

Решение:

y´=

=

= .

Пример№2. Дана функция:

Вычислить производную функции.

Решение:

Пример №3. Дана функция: .

Вычислить производную функции.

Решение:

Тема «Исследование функции одной переменной»

Изучение этой темы следует начать с усвоения понятий возрастания и убывания функции, максимума и минимума функции, выпуклости и вогнутости кривой.

Пример:

1) Исследовать функцию у = (х³ + 9х² +15х - 9) и построить график.

Решение:

1) D (x) = (-∞;+∞), т.е. функция непрерывна на всей числовой прямой.

2)Для исследования функции на экстремумы и монотонность необходимо найти производную и приравнять ее к нулю.

Имеем: y´ = (3x²+9*2x + 15 − 0)

у' = 0 => 3х²+18х + 15= 0

х²+6х + 5 = 0

х₁ = -5; х₂ = -1

х	(-∞,-5)	-5	(-5;-1)	-1	(-1;+∞)
f´(х)	+	0	−	0	+
f (x)	↗	max	↘	min	↗

у _max (-5)= ((-5)³+9*(-5)² +15*(-5) − 9) =4

у _min (-1) = ((-1)³ +9*(-1)²+15*(−1)−9) =−4

3) Для определения точек перегиба и интервалов вогнутости и выпуклости найдем вторую производную и приравняем ее к нулю.

Имеем: y ´´ = (3 * 2 *x + 18+0)

6х + 18 = 0

х + 3 = 0

х = -3

х	(-∞; -3)	-3	(-3;+∞)
f ´(х)	-	0	+
f (x)	∩	точка перегиба	∪

у(-3) = ((-3)³ + 9(-3)² + 15(−3) − 9) = 0.

Точка (-3,0) - точка перегиба.

Используя полученные результаты исследования, построим график функции.

Тема «Интегралы»

Прежде чем приступить к интегрированию функций, тщательно изучите таблицу интегралов, свойства определенного интеграла и два простейших метода интегрирования: метод замены переменной и способ подстановки. Успех интегрирования в значительной степени зависит от того, сумеем ли мы подобрать удачную замену переменной, упрощающую данный интеграл.

При использовании метода интегрирования по частям очень важно правильно выбрать множители U и dv. Хотя общих правил разбиения нет, тем не менее, можно руководствоваться некоторыми частными правилами. Например, если подынтегральная функция представляет собой произведение показательной или тригонометрической функции и многочлена, то в качестве множителя U следует выбирать многочлен. Если же подынтегральная функция является произведением логарифмической или обратной тригонометрической функций и многочлена, то в качестве множителя U следует выбрать логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

При интегрировании выражения, содержащего в знаменателе квадратный трехчлен, целесообразно привести этот трехчлен к виду с выделенным полным квадратом.

Пример№1. Найти интеграл: ∫(5 − +2 )dх.

Решение: Воспользуемся таблицей интегралов и основными свойствами первообразной:

∫(5 − +2 )dх = 5∫dх − 3∫ dх+2∫ dх =

= 5х − 3tgх + 2 +с = 5х −3tgх + +с.

Пример №2. Найти интеграл: ∫

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем ( = , а > 0), правилами действий со степенями с одинаковыми основаниями (аⁿ a^m = a^n+m, = ), правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно.

∫ dх = ∫ dх= ∫ dх − ∫ dх =

= 5∫х dх − ∫х dх = 5 − +с = 3 − +с =

= 3* − +с.

Пример №3. Найти интеграл: ∫ .

Решение: Применим подстановку: t =

Тогда dt = .

Имеем: ∫ ( = ∫ dt = ( + c.

Пример №4. Найти интеграл:

∫ dх.

Решение: Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла следующим образом:

х² − 4х + 8 = х² + 4 +7 = (х − 2)² + 2².

Тогда после подстановки t= х−2 получаем:

∫ dх = ∫ dх =∫ dt = ∫ dt =

= ∫ dt +∫ dt = (t²+4) + actg +c =

(х − 2 +4) + actg +c =

= (х² − 4х +8) + actg + с.

При этом при вычислении интеграла ∫ dt мы воспользовались заменой переменной z = t² +4.

Тогда dz = 2tdt, откуда

∫ dt = ∫ = ∫ = c = ( +4) +c.

Пример №5. Найти интеграл: ∫(2х + 8)*

Решение: Применим формулу интегрирования по частям: ∫udv=uv − ∫vdu.

Положим: u = 2х +8, dv =

Тогда: du = 2dх, v = ∫ =

Следовательно: ∫(2х + 8) −

+

Пример №6. Найти интеграл: ∫actg3х*dх.

Решение: Положим u = actg3х, dv = dх, тогда du = , v = х.

Отсюда: ∫actg3хdх = х* actg3х −3∫

Применим в последнем интеграле подстановку t = 1+9 , получим dt=18хdх, следовательно: 3∫ = ∫ = (1+9 )+с.

Отсюда: ∫actg3хdх = х* actg3х − (1+9 )+с.

Критерий оценивания знаний студента на экзамене

1. Оценка «отлично» ставится за полный ответ на теоретические вопросы и за правильное решение упражнения в приложении.

2. Оценка «хорошо» ставится в том случае, если при ответе на теоретические вопросы имелись неточности, которые не указывают на непонимание студентом сути вопроса, или, в случае ответа на теоретические вопросы, в упражнениях были сделаны ошибки, которые привели к неверному результату, но способ решения был выбран верно.

3. Оценка «удовлетворительно» ставится тогда, когда есть ответ на один теоретический вопрос и решение упражнения, при этом студент не отвечает на наводящие вопросы по неподготовленному теоретическому вопросу.

Возможно выставление оценки «удовлетворительно» и в том случае, когда оба ответа на теоретические вопросы содержат существенные погрешности, которые студент с помощью преподавателя может устранить, демонстрируя при этом умение решать типовые примеры, студент должен знать основные понятия.

4. Оценка «неудовлетворительно» ставится при отсутствии ответов на оба теоретических вопроса или у студента отсутствуют практические навыки.

Дата добавления: 2014-11-25