Методика перевода математической модели на основе дробных факторных планов с кодированными значениями факторов в модель с натуральными значениями факторов. Привести пример

Дробные факторные планы (ДФП), как и полные факторные планы (ПФП), предназначены для построения математической модели объекта. При заданном числе факторов ДФП содержат меньшее число опытов по сравнению с ПФП. Но эта экономия достигается ценой упрощения математической модели.

Напомним, что по результатам ПФП 2^k можно оценить свободный член в математической модели, все линейные коэффициенты регрессии и все взаимодействия факторов. Однако во многих случаях учёт всех взаимодействий факторов не вызывается необходимостью. Так, при первоначальном изучении объектов широко применяются эксперименты с целью получения линейной модели. Для k варьируемых факторов такая модель имеет следующий вид: (12.1) и содержит (k + 1) коэффициент регрессии

(12.1)

Эксперимент, позволяющий отыскать эти коэффициенты, должен содержать не менее чем (k + 1) опытов. С точки зрения экономии средств, желательно, чтобы число опытов N не слишком превышало эту величину. С этой позиции ПФП при отыскании линейной модели неудовлетворительны. В силу соотношения N = 2^k число опытов ПФП существенно превосходит величину (k + 1), начиная уже с трёх факторов. Полные факторные планы неэкономичны, даже если экспериментатора интересуют помимо линейных коэффициентов регрессии некоторые (но не все) взаимодействия факторов.

Пусть, например, по результатам эксперимента с шестью факторами (k = 6) необходимо оценить свободный член, линейные коэффициенты регрессии и парные взаимодействия. Минимально необходимое для этого число опытов равно числу коэффициентов регрессии:

(12.2)

в то время как ПФП 2^k шести факторов содержит N = 2⁶ = 64 опыта.

Дробные факторные планы позволяют сократить число опытов по сравнению с ПФП в случае, если в уравнении регрессии можно заранее пренебречь некоторыми взаимодействиями факторов. Для уяснения идеи построения дробных факторных планов обратимся сначала к плану ПФП 2² с двумя факторами (табл. 12.1).

Таблица 12.1

Матрица базисных функций ПФП 2² для модели (12.2)

Собственно экспериментальным планом являются только столбцы 3 и 4 табл. 12.1. Столбец х₀ добавлен для вычисления коэффициента регрессии b₀, а столбец x₁х₂ - для вычисления коэффициента b₁₂ при произведении факторов x₁ и х₂. Следует отметить, что полученная матрица базисных функций удовлетворяет трём свойствам - (11.5) - (11.7). По результатам такого эксперимента можно получить модель в виде

(12.3)

Дата добавления: 2014-11-25