Личностное пространство модели. 4 страница

Однако если дети учатся в школе вероятностного типа, нужно быть готовым к тому, что даже самые простые вопросы учителя могут оборачиваться настоящим фейерверком детских идей.

И понятно, что по мере развития чертежа изменяется характер ответов.

К моменту, когда чертеж будет закончен, можно будет услышать множество самых неожиданных мнений: "на решетку в тюрьме", "на кафель в ванной", "на окна в доме", "на теннисную сетку", "на невод", "на рыболовную сеть", "на...".

Вполне вероятно, что кто-то из детей скажет и о том, что получившаяся сеточка весьма напоминает то, как разлинована тетрадка. Но если бы задача сводилась просто к тому, чтобы угадать этот вариант - эта задача была бы излишне плоской. На самом деле очень важно, чтобы произошел выплеск самой разнообразной детской фантазии, уводящей, казалось бы, далеко в сторону от собственно математического содержания.

И это не просто способ психологической разгрузки, хотя и он тоже.

Другая сторона дела заключается в том, что ребенок просто обязан осваивать математическое пространство личностно, фантазийно - в этом залог того, что математика не будет восприниматься им как нечто отчужденно-бессмысленное. И потому языковое самовыражение должно пронизывать любые математические занятия. В частности, придумывая самые разнообразные образы того, на что похоже разграфление демонстрационного листа, ребенок ставит на демонстрационный чертеж еще одну свою личную метку - метку своей фантазии. И в результате абстрактный математический объект становится для него теплым и своим. А занятия языком оказываются при этом как бы интегрированы в математику. Или математический урок органичным образом превращается в урок языка.

ШАГ 30. Спеллинг-письмо.

Никогда нельзя заранее предугадать, в какой именно момент математического движения может возникнуть точка вероятностного перехода в лингвистическое пространство. В значительной мере это зависит от интуиции учителя, по настроению класса ощущающему, что дети для такого рода перехода созрели. Критерий же определения такого рода момента зрелости достаточно прост: если в какой-то момент на очередной провокационный вопрос учителя дети начинают выдавать "на гора" яркие языковые конструкции, которые просто невозможно не записать. А, с другой стороны, сама языковая работа может стимулировать новые математические повороты. И такого рода постоянное перетекание математики в язык и языка в математику - непременная особенность вероятностного образования. Важно только, чтобы в педагогическом арсенале учителя были достаточно эффективные средства, которые позволяли бы ему извлекать из этих вероятностных переходов максимальный педагогический эффект.

Приведу в качестве примера технологический прием, позволяющий формировать определенные лингвистические навыки в пространстве так или иначе возникшей свободной детской фантазии.

Когда во время обсуждения какого-то вопроса, провоцирующего возникновение у детей структур образного мышления (в данном случае - вопроса о том, на что похожа расчерченная учителем сетка из клеточек), у детей появляются варианты, которые невозможно не записать, учитель "замораживает" собственно математическое движение и переключается на запись этих спонтанно возникающих " параматематических " детских текстов. При этом он может использовать прием спеллинг-письма (побуквенного письма) под диктовку самих детей.

Суть метода спеллинг-письма заключается в том, что автор предложенного варианта диктует (или пытается продиктовать) свой вариант учителю… по буквам.

Скажем, если кто-то из детей заявляет, что нарисованная сетка из клеток походит на решетку в тюрьме, учитель обращается к этому ребенку: "Диктуй по буквам! Первая буква...". И ребенок диктует: "Рэ!"

И пусть буква называна не совсем по правилам, в данном случае это неважно, и не надо на этом специально фиксировать внимание ребенка; достаточно, что когда сам учитель будет записывать эту букву, он должен внятно и громко произносить ее нормативное имя - "эР".

- "Следующая!" - просит учитель. Ребенок, скорее всего, выпаливает: "И!". Но учитель ни в коем случае не поправляет ученика, а просто говорит ему: "нет", и ждет, когда ребенок предложит другой вариант. Если ребенок теряется - учитель обращается за помощью к классу и запись продолжается уже под диктовку всего класса (или нескольких, наиболее уверенных голосов из класса). Затем аналогичная трудность может возникнут, с буквой "ё", с буквой "т" и т.д.

...Между прочим, такого рода спеллинг-письмо является прекрасным способом овладения чтением и грамотностью в начальной школе. Благодаря технологии такого письма даже дети, которые в начале учебы еще совершенно не умели читать, научаются этому искусству… исключительно на материале собственного словесного творчества и творчества своих товарищей по классу. Ежедневная работа такого рода делает излишним “Букварь”: ребенок осваивает чтение и письмо в пространстве собственной языковой фантазии.

ШАГ 31. Идентификация тетради.

И снова - возвращение к математике.

Из всех предложенных детьми вариантов учитель обращает особое внимание на тот, где сказано, что расчерченный демонстрационный лист напоминает страницу из тетради. А если такого варианта нет – подталкивает к его появлению наводящим вопросом: “А нет ли у кого-то с собой в портфелях или на парте чего-то такого, что очень и очень напоминает мой лист?”

Так от диалога с демонстрационным листом дети переходят к диалогу к собственными тетрадями в клеточку.

Дети сами должны обнаружить, что, оказывается, так долго расчерчиваемый учителем демонстрационный лист есть – но в уменьшенном виде - у каждого из них. Это ли не удивительно? И это ли не повод самым внимательным образом порассматривать пустую пока еще тетрадь?

А вот и первый сугубо математический вопрос, который учитель задает рассматривающим свои тетради детям: “Интересно, а где больше вертикалей и горизонталей - у меня на листе или в ваших тетрадях?"

И дети начинают считать. Кто-то - с большим успехом, кто-то - с меньшим. Но с безусловным энтузиазмом!

Естественно, что кто-то при этом сбивается в счете – и тогда учитель предлагает детям разбиться на пары или на тройки и считать совместно.

И скоро обнаружится, что количество вертикалей и горизонталей на демонстрационном листе практически совпадает с количеством вертикалей и горизонталей в стандартной ученической тетради. Разве что чуть-чуть не совпадает, в связи с тем, что тетрадная страница обычно обрезана не строго по линии клеточек, а с некоторым "заступом". Однако учитель может дорисовать недостающие детали на своем листе, дабы совпадение оказалось полным. И тогда сомнений уже не будет ни у кого: конечно же, учитель изобразил на демонстрационном листе страничку из тетради в клеточку.

ШАГ 32. Открытие модели.

Итак, дети знают, сколько вертикальных и горизонтальных рядов начертил учитель. Знают также, что расчерченный учителем лист является модельной копией их тетрадного листа. И здесь учитель задает следующий "хитрый" вопрос: "Интересно, а сколько тут у меня клеточек?!"

Интересно, что теперь, зная, что расчерченный лист - это модель тетрадного листа дети могут для определения количества клеточек, нарисованных на доске, пользоваться своей тетрадью.

Но для самих детей это, разумеется, не очевидно.

И когда учитель дает задание сосчитать общее количество клеточек, далеко не все дети догадаются, что считать можно... с помощью собственной тетради. Они будут проситься к доске (потому что "не видно"), а у доски будут грудиться в кучу, пока не найдется кто-то наиболее сообразительный, кто начнет считать клеточки у себя в тетради.

И вот тут-то учитель не пожалеет слов восхищения в адрес догадливого ребенка: ведь это и есть самая что ни на есть прямая демонстрация того, что можно назвать математическим мышлением.

Если же никто не догадывается, учитель должен подтолкнуть их к этому: "Неужели есть только один способ считать клеточки на моем рисунке - стоя у доски? Я уверяю, что каждый из вас может справиться с этой задачей, не поднимаясь со своего места и даже не глядя на демонстрационный лист. Кто догадается, как это можно сделать?"

ШАГ 33. Сколько же клеточек на тетрадном листе?

Впрочем, еще до того, как дети начнут считать клеточки у себя в тетради, следует поиграть еще в одну "угадайку" - пусть дети попытаются предположить, сколько клеточек размещается на стандартной тетрадной странице.

Не сомневайтесь, вариантов будет множество, и они будут достаточно разнообразными: дети будут предполагать и пятьдесят, и восемьдесят, и сто, и двести, и пятьсот клеточек. Важно снова не полениться и все детские варианты (с указанием имен детей) выписать на отдельный лист, в таблицу предсказаний, чтобы уже после определить, чей вариант был ближе к истине. А дальше все происходит по той схеме работы с вероятностной таблицей, которая была представлена выше.

ШАГ 34. Метки счета.

После того, как предположения выдвинуты и записаны в таблицу, детям предоставляется возможность самим сосчитать клеточки на тетрадном (и, соответственно, демонстрационном) листе.

Естественно, что совершенно самостоятельно сосчитать на своем тетрадном листе огромное количество находящихся на нем клеточек (а ведь их более тысячи двухсот!) обыкновенному первокласснику пока не под силу.

Важно, однако, чтобы каждый ребенок НАЧАЛ подсчет, отмечая каждую “пройденную” клеточку точкой, и тогда очень скоро станет видно, до какой ступеньки доходит знание натурального ряда у каждого ребенка.

Так и формулируется задание: "Считайте до той клеточки, до которой сможете, и не забывайте отмечать уже сосчитанные клеточки".

Если ребенок не может сосчитать даже клеточек первой горизонтали (т.е. не освоен натуральный ряд в пределах тридцати), и, затормозившись, сообщает, что дальше он считать "не умеет", учитель просто делает цифровую пометку рядом с той клеточкой, в которой появилась последняя точка-метка (разумеется, предварительно проверив, правильно ли сосчитаны клеточки). Эта цифровая пометка обозначает количество сосчитанных и помеченных ребенком клеток, и одновременно фиксирует уровень натурального счета, достигнутый данным ребенком. А пройдет совсем немного времени, и сам ребенок, благодаря сохранившимся меткам, увидит тот прогресс, которого он достиг в натуральном счете.

Если же ребенок с самого начала считает без проблем и в третьем, и в четвертом и в пятом, и в шестом десятках, учитель делает промежуточные пометки в конце каждого ряда, уже сосчитанного ребенком. Для этого он просит всех детей останавливаться и подзывать его в конце каждого подсчитанного ряда.

Таким образом ребенок осваивает важную технологию символического помечивания, которая помогает не сбиться со счета, а также помогает учителю в поиске тех мест, где ребенок сбился со счета.

Кроме того, когда учитель проверяет правильность полученного результата, он отмечает начало каждого нового десятка, формируя у ребенка культуру счета: ведь размечая свой счетный путь десятками, мы существенно облегчаем задачу правильного счета без сбивов при большом объеме счетного материала.

Между прочим, возникает вопрос: что делать тем детям, которые прекратили считать слишком рано, в то время как другие в поте лица упорно продолжают “бороться” с этим огромным клеточным множеством?

Все очень просто: первые приглашаются в качестве наблюдателей ко вторым: смотрите и учитесь!

Таким образом, когда учитель ходит между учениками, продолжающими счет, и делает свои пометки в ученических тетрадях, он учит и тех детей, которые, казалось бы, уже выпали из игры.

ШАГ 35. Публичный счет.

После того, как каждый ребенок завершил свою попытку сосчитать клеточки, учитель организует процедуру публичного счета, в ходе которой устанавливается истинное количество клеточек на тетрадном листе.

Это счет, который ведется дважды. Вначале – только на демонстрационной модели, потом – одновременно на модели и в тетрадях (учитель считает по модели, а дети – по своим тетрадям). При этом счет ведет учитель, а дети лишь соучаствуют в этом процессе, нестройным хором поддерживая громкий голос учителя.

Во время этого счета все выписанные в вероятностную таблицу детские предположения помечаются и очерчиваются: учитель наглядно демонстрирует те объемы клеточек, которые соответствуют названным детским вариантам. Для этого он делает остановку (и соответствующую пометку на демонстрационном листе) всякий раз, когда он доходит до того количества клеточек, которое соответствует тому или иному детскому варианту. При этом важно, чтобы класс помогал учителю делать соответствующие остановки - следить за тем, когда соответствующее число появится в процессе общего счета.

Например, Алеша сделал предварительное предположение, что общее количество клеточек, нарисованных учителем на демонстрационном листе, составит шестьдесят, а Катя предположила, что этих клеточек сто. Свои предположения сделали и другие дети. И вот, происходит дружный публичный счет. И все дети напряженно следят, когда же появится Алешин, или Катин, или чей-либо иной вариант. И как только соответствующий вариант появляется, класс на это тут же реагирует: "Это же Алешин вариант!" А если не успевает - помогает учитель. Делает остановку и спрашивает: "Неужели никто ничего не заметил? Ну конечно, мы наконец-то дошли до Алешиного варианта. Увы, если бы Алеша был прав, это было бы только вот сколько клеточек (обводит сосчитанную группу клеточек по контуру), а на самом деле их здесь значительно больше!"

...И счет продолжается дальше, пока не будут найдены, помечены и показаны все детские варианты, и подсчет не будет доведен до конца. И, честно должен сказать: многие дети будут в конце концов искренне изумлены, когда обнаружат, что количество клеточек на тетрадном листе существенно превышает тысячу.

И вновь: не надо бояться, что такого рода работа (совместное обсчитывание более чем тысячи двухсот клеточек) предлагается уже в начале первого класса. В том-то все и дело, что предлагаемая практика совместного счета является великолепным коллективным тренажом, позволяющим достаточно быстро сформировать и укрепить счетный навык в пределах натурального числового ряда.

Но самое главное заключается в том, что у детей развивается и закрепляется то, что можно было бы назвать "числовым зрением": ребенок начинает видеть глазами, сколько это - пятьдесят, сто, двести или тысяча - в их соотносительном объеме.

Память в метках.

Вообще следует иметь в виду, что любое звуковое называние числа - это тоже не что иное, как метка - метка пройденного числового пути.

Естественно, что в исходном своем существовании это устная, звуковая метка, позднее оборачивающаяся символической записью с помощью тех или иных значков. И весь натуральный числовой ряд в своем исходном назначении представляет собой не что иное, как условный ряд меток - инструмент, с помощью которого можно осуществлять меточную деятельность: ставить условные звуковые или визуальные значки при выполнении тех или иных количественно-измерительных процедур. Например, считать шаги.

Хранение звуковых меток счета осуществляется исключительно в памяти. Поэтому важнейшим условием такого рода деятельности является знание наизусть некоей условной последовательности звуковых сигналов, метящих реальный числовой ряд. Это мы и называем натуральным счетом. И когда взрослые спрашивают маленького ребенка: "До скольких ты умеешь считать?", он реагирует весьма определенным образом. А именно: менее всего пытается продемонстрировать свою способность сосчитать некоторое множество предметов, а просто-напросто предъявляет свое знание той условной меточной лестницы счета, с помощью которой принято осуществлять счет.

Всегда, однако, следует помнить, что такого рода "счет ни о чем" - это лишь демонстрация знания принятой в данном сообществе системы счетных меток, а не сам по себе счет.

К сожалению, многие взрослые, начинающие учить детей считать, забывают об этой мелочи, и вместо реального счета (всегда имеющего дело с той или иной объективной реальностью) учат детей знанию звуковых МЕТОК СЧЕТА. И многие маленькие дети радостно демонстрируют свое "знание счета", т.е. повторяют наизусть выученную последовательность счетных меток ("один, два, три, четыре, пять, шесть..."), даже не пытаясь использовать эти метки инструментально, т.е. для обсчета какой-то реальности. А это значит, что "знание счета", которым обладают эти дети - знание ложное, иллюзорное.

Что толку, если ребенок умеет "считать до ста" (и родители гордятся этим!), если для него это "знание ради знания", а в реальной жизни он никак не использует выученную им меточную систему - не считает шаги от дома до магазина, не считает ступеньки в подъезде и т.п. Безобъектное знание счета - это принципиально мертвое знание; однако многие родители не подозревают об этом. Они учат детей "считать" именно безобъектным образом (т.е. требуют от них запомнить некую абстрактную меточную систему), вместо того, чтобы вместе с ними заниматься реальным, объектным счетом, - а потом удивляются "математической тупости" своих детей.

Числительные количественные и порядковые.

В связи со сказанным не могу не обратить внимания на одну лингвистически-математическую "мелочь", которая обычно игнорируется принятым в школе словоупотреблением. Точнее, формальным образом эта "мелочь" отчетливо проговаривается в любом пособии по русскому языку, однако в реальности огромное большинство людей демонстрируют абсолютно неправильное словоупотребление имен числительных в процессе счета.

Дело в том, что в любом языке существует абсолютно четкое разделение количественных и порядковых числительных. В первом случае числительные обозначают количество, число чего-либо, или просто отвлеченное число ("один, два, три, четыре, пять, шесть...). Во втором случае числительные обозначают порядок следования предметов при счете ("первый, второй, третий, четвертый, пятый...").

Однако в огромном большинстве случаев, если ребенка или взрослого попросить сосчитать некоторое количество предметов, использоваться при счете будут не порядковые, а количественные числительные. И указываться при этом будет не вся группа уже сосчитанных предметов, а лишь на очередной считаемый предмет. И, между прочим, именно таким образом в большинстве случаев взрослые учат считать детей, готовя их к поступлению в школу; но, что самое ужасное, в огромном количестве случаев такую же путаницу допускают и учителя начальных классов и даже профессиональные учителя математики.

Приведу простой пример из "домашней" обучающей практики.

Мама просит пятилетнего ребенка сосчитать стоящие на столе чашки. Ребенок старательно считает: "один!" (указывает на первую чашку), "два!" (показывает на вторую чашку), "три!" (показывает на третью), "четыре!" (показывает на четвертую), "пять!" (показывает на пятую). И мама совершенно довольна, даже не замечая, что ребенок допустил несколько грубейших ошибок.

Во-первых, указывая на первую чашку, ребенок почему-то говорит не "одна", а "один", как будто чашка имеет мужской род. Во-вторых, указывая на очередные чашки, он использует не порядковые, а количественные числительные, и при том совершенно не замечает возникающей путаницы: показывая на ОДИН очередной предмет, он маркирует этот предмет странным, множественным именем "два", "три", "четыре" или "пять".

И это прекрасный пример того, что счет у такого ребенка носит подчеркнуто безобъектный характер: ребенок даже не задумывается над тем, что он считает реальные чашки. Он просто с помощью чашек демонстрирует свое знание маркирующей схемы счета.

Поэтому взрослые, учителя просто обязаны в этой ситуации задать ребенку провокационный вопрос. Когда ребенок указывает на очередную чашку и говорит "два!", нужно искренне изумиться и спросить: "Два - чего? Ведь ты показываешь на ОДНУ чашку - почему же ты говоришь "два"?"

Между прочим, столь простой вопрос кого-то из детей просто сбивает с толку.

А кто-то очень быстро понимает, в чем суть дела и спокойно указывает на то, что речь идет о двух уже сосчитанных чашках.

"Вот они, ДВЕ чашки, о которых я говорю!"

И, считая дальше с помощью количественных числительных, он меняет характер своей указательной жестикуляции. Отныне он будет при счете “два, три, четыре и т.д.” показывать не на очередную чашку, а на ГРУППУ уже сосчитанных чашек. "Одна!" (показывая на первую чашку), "две!" (обводя рукой первую и вторую, уже сосчитанные чашки), "три!" (обводя рукой группу из трех уже сосчитанных чашек), и так далее.

И наоборот: если всякий раз показывать лишь на ОЧЕРЕДНУЮ чашку, ребенок просто обязан использовать не количественные, а порядковые числительные (естественно, и в этом случае не забывая, что чашка - существительное женского рода): "Первая! Вторая! Третья! Четвертая! Пятая! Всего - пять чашек!"

И абсолютно то же самое должно происходить при подсчете клеточек.

Если ребенок считает с помощью количественных числительных, он каждый раз, вводя очередной числительный маркер-метку, должен указывать на ВСЮ ГРУППУ уже сосчитанных клеток: "Одна, две, три, четыре, пять..., двадцать шесть, двадцать семь... триста шестьдесят восемь..." и т.д.

Или, в противном случае, вести счет, используя порядковые числительные: "Первая, вторая, третья, четвертая, пятая... двадцать шестая, двадцать седьмая..., триста шестьдесят восьмая..."

И, заметим, что в первом и втором случаях он имеет дело с РАЗЛИЧНЫМИ ОБЪЕКТАМИ. В первом случае он маркирует звуковыми метками группы клеток, а во втором - лишь с каждую очередную клетку.

Таким образом, владение языковой нормой в данном случае свидетельствует о том, насколько ребенку представлен реальный математический объект, и, следовательно, свидетельствует о сформированности основ математического мышления.

И это лишний раз свидетельствует о том, насколько мышление математика должно быть пронизано филологической культурой.

ШАГ 36. Новые условия старой игры.

Естественно, что после того, как дети вместе с учителем установили, что на демонстрационном листе расчерчивалась тетрадная страница размером примерно 31x42 клеточки, новая "угадайка" с прежними условиями (разумеется, после того, как старый демонстрационный лист окажется полностью использован для записи и для вычерчивания задач, речь о которых пойдет ниже) оказывается уже невозможной: дети будут знать заранее, сколько сколько вертикальных и горизонтальных рядов собирается начертить учитель. Поэтому время от времени нужно изменять параметры чертежа и условия игры, и тогда вероятностная игра, описанная в предыдущих шагах, сможет быть возобновлена.

Скажем, если в первой игре графление листа шло с ориентацией на количество горизонтальных и вертикальных линий на тетрадной странице, то в следующих играх такого рода (через день, через месяц или даже через год - не имеет значения, поскольку эта игра может быть одинаково увлекательной и для первоклашек, и для учащихся старших классов) можно вводить совершенно новые условия.

Например, брать лист бумаги, на котором заведомо не поместится клеточная сетка 31x42 и задавать прежний вопрос: "Как вы думаете, а сколько горизонтальных и вертикальных рядов поместится на ЭТОМ листе бумаги?"

Или изменить масштаб - сделать клеточку размером 4x4 сантиметра - в пределах листа, тождественного прежнему - и задать прежний вопрос. Все это - блестящие средства развития детского глазомера, интуиции, ну и, конечно, чувства числа.

И самое главное, что это задача, постоянно открытая как творчеству учителя, так и творчеству детей. Если рассматривать изложенную выше задачу на графление, обсчет и идентификацию листа всего лишь как интеллектуальную матрицу целого куста задач такого типа, можно прийти к совершенно удивительным дидактическим открытиям. Предоставлю возможность сделать эти дидактические открытия вам самим, дорогие читатели моей книги.

Все, что от вас требуется – это смелость первого вероятностного шага, предполагающего отказ от каких бы то ни было пошаговых методических разработок и плановых сценариев. И открытость детскому самовыражению “здесь и теперь”.

И тогда вы обнаружите, что математика, основанная на вероятностных принципах, – это вовсе не математика, изобретенная неким Александром Лобком, а математика, каждодневно изобретаемая вами. И возможности этой математики воистину безграничны.

И все, что требуется от вас – это верить в себя, в свою математическую интуицию, и в детей. И тогда вас будет ждать встреча с удивительной математикой педагогических открытий. Математикой, которую вы изобретете сами, и которая будет богаче и интереснее любой математики, про которую вы прочитаете в книжке.

А к тому, что написано здесь, отнеситесь только как к провокации своего собственного творчества.

ГЛАВА VI

Дата добавления: 2014-11-25