Удивительные фигурки. 3 страница

Важно при этом, что любая пространственно размытая фигурка может быть переформатирована в компакт-формат. Поэтому особое задание, которое учитель может дать детям - это задание переформатировать в компакт-формат все фигурки, которые есть у них в тетрадях. И, надо сказать, дети делают это с большим интересом: фигурка, которая занимала много-премного места, "упаковывается" на совсем незначительную площадь, а представляемое этой фигуркой число (число клеточек в этой фигурке) остается прежним.

Только не надо забывать про знак равенства: осуществляя процесс переформатирования, ребенок обязательно должен связать исходную и конечную фигурки знаком равенства, и точно так же связать знаком равенства символические записи чисел под этими фигурками, имея в виду, что эти фигурки состоят из одинакового количества клеточек.

В целом введение компакт-формата - это важный ограничитель, способствующий более эффективному установлению количественных соотношений в сознании ребенка. И потому дальнейшая работа с фигурками должна проходить с ориентацией на компакт-формат.

ШАГ 25. Преобразование в прямоугольник.

Важнейший вариант компактной "упаковки" фигурок - их упаковка в прямоугольный формат. Ведь в этом случае предельно облегчается процедура обсчета этих фигурок, а кроме того обнажается внутренняя структура числа, поскольку число разбивается при этом на равные группы клеточек.

Правда, введение феномена умножения как процедуры, оптимизирующей процесс счета, будет предложено в последующих главах. Пока же детям предлагается просто поискать различные способы преобразования (переформатирования) тех или иных фигурок в прямоугольники. Причем всякий раз, когда учитель дает на преобразование очередную фигурку, он просит детей постараться обнаружить все возможные варианты прямоугольников, которые можно будет образовать из этой фигурки.

Дети, разумеется, даже не подозревают, что они тем самым занимаются не чем иным, как разложением числа на множители и поиском всех возможных множителей. Но когда преобразование числа в прямоугольник уже совершено, учитель может предложить детям новый вариант символического описания получившейся фигурки. С помощью знака умножения (когда количество клеток в одном параллельном ряду, из которых состоит прямоугольник, умножается на количество самих этих рядов).

Важно подчеркнуть, что таким образом можно описывать только прямоугольники, а не каких-либо иные фигуры. Последнее чрезвычайно важно, поскольку в противном случае маленький ребенок будет готов описывать с помощью знака умножения любые фигурки не прямоугольной конфигурации. Например, прямоугольник с "вырезанной клеточкой.

Рисунок 9.

На рисунке представлены несколько возможных вариантов представления числа одиннадцать и числа двенадцать. Принципиально важно, что число одиннадцать можно “упаковать” в прямоугольник только одним способом (11х1), тогда как число двенадцать можно “упаковать” в прямоугольник тремя различными способами (12х1, 6х2, 4х3). Однако на первых порах дети не склонны стремиться к прямоугольному формату, предпочитая более “растрепанные” формы фигурок.

Из трех представленных вариантов одиннадцатиклеточного числа наиболее компактной является вторая фигурка (периметр 14 условных единиц), а наименее компактной фигурка прямоугольного формата (24 условных единицы), хотя в принципе возможно построит одиннадцатиклеточную фигурку периметром до 44 единиц.

“Растрепанная” фигурка из 12 клеточек, переведена в компакт-формат 3х4=12 и описана соответствующим образом. В первом случае периметр фигурки составляет 48 условных единиц, во втором – 14 условных единиц.

Шаг 26. Описание умножения.

Вообще говоря, следует иметь в виду, понимание феномена умножения - достаточно непростой процесс для семилетнего ребенка. Как бы ни старался учитель, показывая и объясняя, что для описания прямоугольной фигурки с помощью умножения требуется вначале обозначить количество клеточек в одном ряду (разумеется, имеются в виду РАВНЫЕ ряды), а затем, после знака умножения - количество самих этих рядов, ребенок все равно будет на первых порах путаться.

Например, сосчитав клеточки в одном ряду, будет записывать после знака умножения количество ОСТАВШИХСЯ рядов (т.е. тех рядов, в которых им не были сосчитаны клеточки). В этом случае прямоугольник 3х4=12 он вполне может описать как 3х3=12.

Рисунок 10.

Пытаясь описать прямоугольник 3х4=12 с помощью процедуры умножения, ребенок сосчитал количество клеток в первом вертикальном ряду, умножил их на количество оставшихся рядов (на три): 3х3. Это одна из типичных ошибок: ребенок не удерживает, что фигурка состоит из четырех рядов по три клеточки в каждом.

Другой распространенный вариант ошибки - это когда ребенок "умножает" (т.е. записывает с помощью знака умножения) количество клеточек в одном ВЕРТИКАЛЬНОМ ряду на количество... ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ рядов. И в этом случае прямоугольник 3х4=12 он может описать как 4х4=12.

Рисунок 11.

Еще одна типичная ошибка.

Прямоугольник 3х4=12 описан ребенком как 4х4=12, поскольку он вначале сосчитал количество клеточек в горизонтальном ряду, а затем умножил их на количество… вертикальных рядов!

И, наконец, достаточно часто дети пытаются описать с помощью значка умножения фигурки, которые вообще не являются прямоугольниками, а лишь похожи на прямоугольник (но при этом в каких-то рядах не хватает клеточек). Дети, однако, уверенно описывают эти фигурки так, как будто все ряды являются полными. Например, фигурку 3х4+2=12+2=14 они записывают как 3х5=14.

Рисунок 12.

Ребенок не замечает, что в фигурке 3х4+2=14 только четыре полных ряда, и потому он описывает ее как 3х5=15

Замечу, кстати, что при всех этих нарушениях правил символического описания фигурок с помощью умножения общее количество клеточек в соответствующих фигурках указывается детьми правильно. Это связано, с тем, что дети ни в коем случае не пользуются никакой таблицей умножения (о ее существовании они просто пока не подозревают), а просто ведут пошаговый подсчет клеточек в фигурке. Иначе говоря, он занимается тем, что, работая с прямоугольными фигурками открывает феномен умножения задолго до того, как знакомится с фактом существования “таблицы умножения”.

На данном этапе ребенок только еще примеривается к новой символической записи, новому способу символического описания, и становление его понимания этой достаточно сложной процедуры требует времени.

Кстати говоря, это крайне важно специально подчеркнуть: принцип умножения появляется у нас вовсе не как СЧЕТНЫЙ принцип, а исключительно как особый принцип описания каких-то фигурок. Что касается традиционной школы, то там умножение вводится чисто инструментально: как процедура, облегчающая счет, когда не надо какое-то число многократно складывать с самим собой, а достаточно воспользоваться услугами этой самой таблицы умножения. Но вообще это большая беда, когда счетные процедуры опережают процедуры понимания, а именно это, повторюсь, является одной из самых опасных и запущенных болезней школьной математики. Наша же идея состоит в прямо противоположном: оптимизация счета должна лишь на основе сформированных структур понимания - понимания идеи или принципа сложения, умножения, деления или самого равенства.

Шаг 27. Равенство как тождество.

Между прочим, в работе по символическому описанию прямоугольника впервые возникает двойное описание одной и той же фигурки.

Оказывается, количество клеточек в фигурке можно записать двумя принципиальными способами - как количество клеточек в одном ряду, умноженое на количество рядов и просто как общее количество клеточек. А поскольку в том и в другом случаях описывается одна и та же фигурка, это означает, что числа, скрывающиеся за этими двумя символическими записями, равны. И, следовательно, эти две записи можно связать знаком равенства.

Но, таким образом, возникает новая трактовка равенства - не только равенство различных объектов (которые оказываются равными по количеству содержащихся в них клеточек) записывается с помощью значка равенства, но и… разные способы описания одного и того же количества (тогда, когда происходит описание ТОЖДЕСТВА объекта самому себе).

И надо честно сказать, что такая трактовка равенства как самотождественности объекта оказывается более трудной для детского понимания, нежели идея количественного равенства разных объектов.

Впрочем, о философии и психологии этого вопроса речь еще впереди.

ШАГ 28. Конфигурационное лото.

Один из возможных вариантов работы - подготовка специальных карточек, на которых представлены числовые фигурки различной конфигурации и самых разных, в том числе достаточно больших численных значений. Естественно, что карточки сочиняются и рисуются самими детьми. Важно при этом проследить, чтобы все фигурки этого конфигурационного лото были представлены в компакт-формате (хотя варианты этого компакт-формата могут быть, разумеется, разными).

Кроме того важно организовать учебную деятельность с этими карточками так, чтобы во внеучебное время у детей появилась потребность играть с этими карточками в своеобразную "числовую угадайку", когда дети сами, без участия учителя распределяют между собой пакет карточек с нарисованными на них числовыми фигурками различной конфигурации, а затем по очереди предъявляют эти карточки друг другу с просьбой угадать нарисованное число. Между прочим, эта игра достаточно интересна и для детей более старшего возраста. Регулярная работа с таким "портфелем карточек" позволит достаточно быстро сформировать у любого ребенка как "графический образ" числа, так и способность эффективного пошагового счета.

Наличие у каждого ребенка большого количества сделанных им карточек такого рода конфигурационного лото позволяет детям играть и в игру на загадывание различного рода числовых последовательностей.

ШАГ 29. Числовые последовательности.

Особый способ введения в мир чисел - через предьявление детям разных типов числовых последовательностей. Это когда числа, моделируемые фигурками, предъявляются не вразброс, а в какой-то выстроенной последовательности, начиная от простейшей последовательности натурального числового ряда (1, 2, 3, 4, 5, 6...). В таких случаях ребенок должен отгадывать не только предъявляемые ему числа, но и ту или иную скрытую числовую закономерность.

При этом учитель может не предупреждать детей о том, что в предъявляемом им ряде чисел скрыта какая-то закономерность и ждать, когда дети сами догадаются, что предъявялемые им числа идут не в произвольном порядке, а выстроены в некий закономерный ряд. В этом случае надо просто ждать момент, когда у какого-то ребенка произойдет инсайд и он предъявит эффект "опережающего отражения": догадается, какое число будет предъявлено следующим еще до того, как это число будет предъявлено.

Например, учитель предъявляет детям последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9... И наиболее сообразительных детей не надо предупреждать о том, что здесь спрятана числовая закономерность - они и сами об этом догадаются.

Однако для некоторых детей потребуется специально выложить ряд из предъявленных фигурок и настойчиво попросить догадаться, какое число (разумеется, моделируемое фигуркой) будет следующим в этом ряду. А если по лицу ребенка видно, что он не решается ответить, нужно сделать еще один или несколько шагов - добавить одну или несколько фигурок этого ряда.

Чтобы понимание возникло даже у самых слабых детей, можно вначале предложить фигурки однотипной конфигурации - каждая очередная фигурка принципиально сохраняет форму предыдущей, и лишь с одного края к ней добавляются две дополнительные клеточки.

Рисунок 13.

Пример последовательности однотипных фигурок, в которой зашифрована определенная числовая последовательность.

В этом случае каждый новый шаг, связанный с приращением двух новых клеточек, будет ОЧЕВИДЕН практически любому ребенку, и он сможет без особых проблем догадаться, какая же именно закономерность оказалась здесь скрыта. И лишь после этого ту же последовательность можно предъявить с помощью фигурок, имеющих неоднотипную конфигурацию.

Рисунок 14.

Пример последовательности неоднотипных фигурок, в которой зашифрована определенная числовая последовательность.

Впрочем, если дети достаточно сообразительны, они без труда расшифруют столь простую последовательность, сколь бы не изощрялся учитель в конфигурации предъявляемых фигурок. И тогда наступает очередь других - более сложных, более запутанных, более изощренных числовых последовательностей.

ШАГ 30. Изобретение числовых последовательностей детьми.

После того, как дети "войдут во вкус", занимаясь разгадыванием самых разнообразных последовательностей, предлагаемых им учителем, у некоторых из них появится желание сочинять собственные последовательности. Учитель должен всячески поддержать это желание, идущее "снизу" и даже объявить конкурс на изобретение самых интересных последовательностей.

Естественно, что вначале детские изобретения могут оказаться не слишком удачными, и учитель должен будет заниматься терпеливой коррекционной работой: показывать, почему предложенный детьми числовой ряд "не вытягивает" на закономерную числовую последовательность. Но любой удачный ход требует безусловной поддержки от учителя.

Понятно, что первоначально дети будут ориентироваться на те типы числовых последовательностей, которые уже были предъявлены учителем. Например, если учителем была предложена последовательность 1,3,5,7,9..., а затем 1,4,7,10..., то дети могут предложить со своей стороны 1,5,9,13... - т.е. последовательность того же типа, но с новым числовым шагом. Или если учитель предложил числовую последовательность с "разнонаправленным" шагом (например, 1,3,2,4,3,5,4,6...), то и у детей могут появиться последовательности аналогичного типа.

В любом случае, важнейшее условие такого рода работы заключается в том, что последовательность на первых порах ни в коем случае не должна предъявляться чисто символическим образом, а должна подкрепляться визуальным графическим рядом. Только в этом случае ребенок будет ВИДЕТЬ сочиняемые им последовательности, а, значит, видеть спрятанные в различного типа поседовательностях числовые закономерности.

Во всяком случае, чисто символическая запись последовательности типа 1,3,2,4,3,5,4,6... оставляет детей равнодушными, а многие просто не понимают, не улавливают спрятанного в этой последовательности закона; когда же эта последовательность представлена графически, практически любой первоклассник без труда обнаруживает спрятанную в ней тайну.

ШАГ 31. Переформатирование фигурок в числовой последовательности.

Правда, в каких-то случаях последовательности могут оказаться слишком сложными и изощренными, и тогда от учителя потребуется специальная графическая демонстрация загаданного числового ряда с переформатированием моделирующих этот ряд фигурок - так, чтобы загаданная числовая закономерность была доведена до уровня очевидности.

Так, если конфигурация фигурок не позволяет сразу увидеть принцип изменения, заложенный в основание данной числовой последовательности, учитель может предъявить ту же самую числовую последовательность, но с помощью других фигурок - как это было описано в предыдущем шаге. При этом процесс переформатирования должен совершаться с использованием знака равенства: ребенок должен отчетливо видеть, что, заменяя данную фигурку фигуркой другой конфигурации, учитель сохраняет количество клеточек неизменным, а, значит, и моделируемая числовая последовательность остается той же самой числовой последовательностью - только определенным образом изменяется визуальный материал.

Практика показывает, что такого рода работа с графическими моделями чисел натурального ряда позволяет детям младшего школьного возраста почувствовать "вкус" числового моделирования, и, в частности, моделирования собственных числовых последовательностей, и уже в первом классе освоить последовательности достаточно сложные и красивые - например, арифметическую и геометрическую прогрессии.

ГЛАВА VII.

Дата добавления: 2014-11-25