Введение в арифметику. 4 страница

Что же это такое – это пресловутый “раз”? Это не что иное, как одинарный объем исходной целостности.

Потому-то и можно умножить количество предметов в одной группе на количество самих этих групп (естественно, в том случае, если в каждой группе - одно и то же количество предметов).

Но полным математическим безумием и абсурдом было бы умножать некоторое количество предметов на... другое количество этих же предметов!

Однако парадокс заключается в том, что именно таким, совершенно нелепым образом в наше сознание вводится идея вычисления площадей.

Скажем, учебник второго класса совершенно серьезно заявляет: для того, чтобы, мол, вычислить площадь прямоугольника, надо умножить длину одной стороны (естественно, выраженную в линейных единицах) на... длину другой стороны!

А в результате почему-то должны получаться какие-то "квадратные" единицы.

Однако ни учителей, ни, тем более, детей это обстоятельство решительно не смущает, и они уверенно записывают: 10смх5см=50кв.см.

Однако, если такая формула верна, это значит, что слово "умножение" употребляется здесь в каком-то совершенно новом смысле.

Ведь до сих пор смысл понятия умножения, напоминаю, заключался в том, что нечто становится многим.

И если мы умножаем длину, то по аналогии с другими операциями умножения мы должны получить в итоге некое множество длин.

Однако в случае нахождения площади мы встречаемся с какой-то совершенно другой логикой. Умножается длина (линейная величина), а в результате получается... площадь (квадратная величина)!

Значит ли это, что каким-то существенным образом меняется сама трактовка умножения?

Увы, учебники об этом умалчивают, а дети и учителя принимают это как религиозный постулат эпохи Тертуллиана: "верую, ибо абсурдно!".

При том, если найдется какой-нибудь не утративший способность думать ребенок, который будет настаивать на том, что он не понимает, как все-таки находится площадь, ему поставят диагноз интеллектуальной ограниченности. Мол, чего тут сложного - умножай одну сторону на другую и пиши ответ!

И чем больше такой ребенок будет упорствовать в своем непонимании, тем больший гнев и раздражение это будет вызывать со стороны учителя.

Но не лучше ли все-таки попробовать заменить постулат абсолютной веры попыткой понимания? И для начала попробовать просто быть последовательными в трактовке феномена умножения?

ШАГ 16. Подводные камни умножения.

В самом деле, давайте разберемся, что же на самом деле и на что умножается, когда определяется площадь прямоугольника? И можно ли разобраться в идее площади, не вступая в противоречие с исходно заявленной идеей умножения?

И снова ключ к пониманию дает наша модельная графика.

И она же помогает понять, что наши недоразумения с феноменом площади – прямое следствие типичных детских ошибок в интерпретации того, что есть умножение.

…Когда ребенок впервые пытается записать площадь произвольного прямоугольника с помощью умножения, он обычно чрезвычайно легко (и незаметно не только для себя, но и для учителя) совершает ряд ошибок, которые можно заметить лишь с помощью специально поставленных вопросов.

Возьмем для примера прямоугольник из пятнадцати клеточек - пять клеточек в длину и три клеточки в ширину.

Казалось бы, дети очень скоро понимают, в чем суть дела и легко подписывают этот прямоугольник следующим образом: 5х3=15. Но стоит, однако, задать некоторые проверочные вопросы, и станет ясно, что некоторые дети, делая эту формально правильную запись, имеют в виду совсем не то, на что рассчитывает учитель.

Если такого ребенка попросить: "Покажи мне на своем чертеже, что ты имеешь в виду когда ты пишешь цифру пять? Что на твоем чертеже обозначено этой цифрой?" - вдруг выяснится, что кто-то из детей имеет в виду вовсе не количество клеточек в горизонтальной полоске, а... длину этой полоски, составленную из боковых сторон клеточного ряда. Он так и будет показывать кончиком ручки на сторону нашего прямоугольника (составленную из верхних сторон пяти клеточек), а вовсе не на полоску из пяти клеточек.

И тогда нужно будет осуществлять коррекцию понимания: показать ему, что, если мы будем умножать не сами клеточки, составляющие одну полоску, а лишь те их боковые стороны, которые составляют длину прямоугольника, мы получим в результате этого умножения вовсе не прямоугольник, а... лишь длинную линию пятикратно увеличенной стороны.

Рисунок 18 а, б.

На рисунке изображен прямоугольник 5х3=15. Понятно, что аргументом здесь является заштрихованная полоска из пяти клеток, а вовсе не боковая сторона (прочерчена жирным). Если бы аргументом являлась боковая сторона, тогда результатом умножения явилась нарисованная рядом длинная линия размером в 15 клеточных сторон.

В том-то и заключается суть дела, что аргументом в нашей клеточной модели является вовсе не длина боковой стороны (линейная величина), а количество клеточек в полоске, т.е. квадратная величина.

Правда, тут же выясняется, что ребенок с легкостью готов сделать другую ошибку.

Когда его снова просишь показать на графической модели: так что же он умножает и на что, когда он записывает: 5х3=15, он делает ошибку в уже интерпретации функции.

Вот он уже разобрался с аргументом, и, отвечая на вопрос, что означает в его записи цифра пять, он уверенно показывает на горизонтальную полоску из пяти клеточек, а не на соответствующую сторону прямоугольника. И это правильно.

Однако как только дело доходит до интерпретации функции, и ребенка просят объяснить, что означает в его записи цифра три, он указывает... на вертикальную полоску из трех клеточек! Мол, пять горизонтальных клеточек умножаются на три вертикальные!

И снова от учителя требуется максимальное терпение в объяснении того, что умножение происходит вовсе не на количество клеточек в одной вертикали, а на количество горизонтальных рядов.

Почувствуйте, что называется, разницу!

Хотя количественный результат - тот же, но имеется в виду нечто совершенно иное.

Кстати говоря, существует весьма остроумный способ показать ребенку, почему количество клеточек в горизонтальном ряду следует умножать на количество самих этих горизонтальных рядов, а не на количество клеточек в одном из вертикальных рядов.

После того, как ребенок в своей интерпретации записи 5х3=15 укажет, что цифра три обозначает здесь количество клеточек в одном из вертикальных рядов, учитель делает простой чертеж в соответствии с детским указанием: он вычерчивает указанные крайние клетки прямоугольника в виде буквы "Г" и спрашивает ребенка: "Так что же, в этой фигурке тоже 15 клеток?".

И тогда до ребенка наконец доходит, что умножение происходит на полоски, а не на крайние клетки в этих полосках, хотя количество тех и других, разумеется, совпадает.

ШАГ 17. Понимание в квадратах.

Описанная модель, похоже, дает достаточно простой ключ к пониманию, того, что же на самом деле происходит при определении площади прямоугольника.

Конечно же, происходит вовсе не умножение длины одной стороны на длину другой, а нечто существенно другое.

Дело в том, что единицей площади принято считать квадрат с той или иной длиной стороны. Скажем, квадрат с длиной стороны в один сантиметр именуется квадратным сантиметром, а квадрат с длиной стороны в один метр - квадратным метром.

И дело вовсе не в том, что одна сторона этого квадратика якобы умножается на другую сторону - это было бы чистейшим абсурдом. Ничто ни на что не умножается, а просто принимается эталон измерения площади - эталон, за основу которого принимается основание квадрата. А основание квадрата – это сторона квадрата, равная той или иной единице длины.

Поэтому когда мы встречаемся с записью 1кв.см.=1см.х1см., мы должны понимать, что это совершенно абсурдная запись. Поскольку на самом деле один квадратный сантиметр равен вовсе не "произведению длин сторон", а… квадратному сантиметру, взятому один раз.

То есть 1кв.см.=1кв.см.х1. И никак иначе.

А превращение линейных величин путем их “перемножения” в квадратную величину - это блеф чистой воды.

Один квадратный сантиметр является таковым вовсе не потому, что каким-то мистическим образом перемножили его стороны (пусть кто-нибудь внятно объяснит, что это значит - перемножить стороны квадратного сантиметра), а просто потому, что за единицу площади принят квадрат со стороной в один линейный сантиметр.

Но отсюда становится понятным, что, если внутри прямоугольника выделить полоску длиной со сторону этого прямоугольника а шириной в один сантиметр, то эта полоска площади (а вовсе не длина стороны) как раз и будет представлять собой первый множитель при определении площади прямоугольника.

Понятно, что количество квадратных сантиметров, составляющих эту полоску, будет совпадать с количеством линейных сантиметров, составляющих длину соответствующей стороны этого прямоугольника.

Что же касается второго множителя, то им, разумеется, будет то количество этих полосок, которое поместится внутри данного прямоугольника. А поскольку ширина полоски составляет ровно один сантиметр, то нетрудно догадаться, что этих полосок внутри прямоугольника будет ровно столько, сколько линейных сантиметров разместится на другой (перпендикулярной) стороне прямоугольника.

Рисунок 19.

Прямоугольник со сторонами 5 и 6 сантиметров. В этом прямоугольнике выделена и заштрихована полоска шириной в 1 см и длиной в 5 см. На полоске выделены пять квадратов, каждый из которых составляет один квадратный сантиметр. Одна полоска состоит из пяти таких квадратных сантиметров, следовательно равна 5 кв.см.. А поскольку всего таких полосок шесть, то и общая площадь данного прямоугольника составляет 5х6=30 квадратных сантиметров.

Но таким образом, если нам нужно определить площадь прямоугольника со сторонами, допустим, в пять и шесть сантиметров, мы действительно умножаем пять на шесть. Но не пять линейных сантиметров на шесть линейных сантиметров, а пять квадратных сантиметров (площадь полоски, шириной в один сантиметр, примыкающей к одной из сторон данного прямоугольника) на шесть раз (т.е. количество таких полосок, размещающееся на площади данного прямоугольника).

Естественно, что чисто количественно это абсолютно совпадает с результатом так называемого "перемножения сторон", но по своей сути это совершенно иной процесс, безупречно описываемый в рамках идеи умножения.

И в этом состоит подлинный ключ к пониманию того, что же на самом деле происходит, когда мы вычисляем площадь прямоугольника.

ШАГ 18. Так называемое "деление".

Впрочем, сделаем следующий шаг.

Понятно, что фигурка, представленная как сумма фрагментов, состоящих из равного количества клеточек, может быть представлена не только с помощью символики умножения, но и с помощью символики деления.

Точнее говоря, с помощью этой символики может быть записано не общее количество клеточек в фигурке в целом, а либо количество клеточек в каждом из составляющих эту фигурку фрагментов, либо количество этих фрагментов.

В первом случае символическая запись выглядит так: общее количество клеточек, которое содержит фигурка в целом, "делится" на общее количество фрагментов, и эта запись будет обозначать количество клеточек в одном фрагменте.

Скажем, в фигурке 15=3+3+3+3+3=3х3 каждый ее фрагмент можно записать либо просто как число три, либо как 15:5. Понятно, что в том и в другом случае речь идет о количестве клеточек, которое оказывается в каждом из пяти (равных!) фрагментов., А поскольку речь идет об одном и том же числе, можно написать, что 3=15:5.

Во втором случае можно записать количество равных фрагментов, из которых состоит фигурка. Это количество фрагментов можно записать как число пять, либо как 15:3, что можно проинтерпретировать примерно следующим образом: это то количество групп, которое получится, если пятнадцать клеток сгруппировать в группы по три клеточки в каждой.

А поскольку и первая символическая запись и вторая повествуют об одном и том же - о количестве фрагментов, из которых состоит данная фигурка, между этими записями можно так же поставить знак равенства: 5=15:3. Но на этот раз стороны равенства повествуют уже не о количестве клеток во фрагменте, а о количестве фрагментов.

Таким образом, у записи 5=15:3 и записи 3=15:5 - принципиально разные знаменатели - т.е. разные имена того, о чем повествуют эти числа.

Ну и понятно, наконец, что в отношении фигурки 15=5+5+5=5х3 все меняется "с точностью до наоборот", а именно: запись 3=15:5 будет повествовать о количестве фрагментов (будет иметь своим знаменателем количество фрагментов), а запись 5=15:3 будет повествовать о количестве клеток в одном фрагменте (будет иметь своим знаменателем количество клеточек в одном фрагменте).

И в любом случае ясно: то, что в традиционной школе называют "операцией деления", на самом деле является не чем иным, как операцией группировки.

Рисунок 20.

Прямоугольник 3х5=15. Каждый из его пяти фрагментов можно описать как 3=15:5. В этом случае речь идет о клеточках, содержащихся в каждом из пяти фрагментов. Другой вариант описания этого прямоугольника 5=15х3 означает уже несколько иное: количество групп, которые образуются в том случае, если 15 клеточек сгруппировать в группы по три.

В “обратном” прямоугольнике 5х3=15 (равном предыдущему по площади и тождественном по общей конфигурации) каждый из трех равных фрагментов можно описать как 5=15:3. Но зато запись 3=15:5 в этом случае будет означать не количество клеточек во фрагменте, а количество групп, которые образуются, если 15 клеточек сгруппировать в группы по 5.

Дата добавления: 2014-11-25