Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки , где – непрерывная функция новой переменной , имеющая непрерывную производную . Формула замены имеет вид:

.

Если , то для нахождения интеграла решаем уравнение относительно , то есть находим обратную функцию и подставляем ее в . В итоге получаем

.

Итак, после интегрирования этим методом обязательно возвращаемся к старой переменной.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Произведем следующую подстановку: . Тогда

, , , .

Теперь исходный интеграл примет вид:

Пусть и – дифференцируемые функции аргумента . Проинтегрируемформулу Лейбница . Получим . Так как , , , имеем или .

Интегрирование по частям производится по следующей формуле:

.

С помощью этой формулы нахождение исходного интеграла сводится к отысканию другого интеграла , который проще исходного. При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример. Найти интеграл .

Решение.

Следующие типы интегралов удобно интегрировать по частям. Для интегралов вида , , , где P (x) – многочлен, за u принимают P (x), а за оставшееся выражение; для интегралов вида , , за u принимают соответственно функции , , , а за – выражение .

Дата добавления: 2014-11-26