![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Примеры. 1. Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к
1. Рассмотрим функцию y=|x|. Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. Правила дифференцирования Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x. 1. 2. 3. 4. 5. а) б) C) 2. Производные элементарных функций. D) y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона: (a + b)n = a n+ n·a n-1· b + 1/2∙ n(n – 1)a n-2∙ b 2+ 1/(2∙3)∙ n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn, можно доказать, что Итак, если x получает приращение Δ x, то f(x +Δ x) = (x + Δ x)n, и, следовательно, Δ y =(x +Δ x) n – xn = n·xn-1 ·Δ x + 1/2·n·(n– 1 )·xn-2 ·Δ x2 +…+Δ xn. Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δ x в степени выше 3. Найдем предел Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R. 1. y = sin x. Вновь воспользуемся определением производной. Так как, f(x +Δ x)= sin(x +Δ x), то Таким образом, 2. Аналогично можно показать, что 3. Рассмотрим функцию y = ln x. Имеем f (x +Δ x)=ln(x +Δ x). Поэтому Итак, 4. Используя свойства логарифма можно показать, что 3. Производная обратной функции Рассмотрим функцию y= x3. Будем рассматривать равенство y = x3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x: Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x 2> x 1, то f(x 2 ) > f(x 1 ). Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если х 2 < х 1, то f(x 2 ) > f(х 1 ). Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [ a; b ]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично). Рассмотрим два различных значения х 1 и х 2. Пусть y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Из определения возрастающей функции следует, что если x 1< x 2, то у 1< у 2. Следовательно, двум различным значениям х 1 и х 2 соответствуют два различных значения функции у 1 и у 2. Справедливо и обратное, т.е. если у 1< у 2, то из определения возрастающей функции следует, что x 1< x 2. Т.е. вновь двум различным значениям у 1 и у 2 соответствуют два различных значения x 1 и x 2. Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x, и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y: x= g(у). Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у). Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х. Пример. Пусть дана функция y = ex. Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она имеет обратную функцию x = ln y. Область определения обратной функции 0 < y < + ∞ Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у 0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0 = g (x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную
Дата добавления: 2014-11-09; Просмотров: 679; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |