Производная фунции, заданной параметрически

Пример

Раскрытия неопределенностей

Основные теоремы дифференциального исчисления

Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

1. Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое символически запишем так:

F(x, y) = 0.

(1)

Если на некотором множестве D каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, которое вместе с x удовлетворяет уравнению (1), то будем говорить, что это уравнение задает неявную функцию y=f(x).

Чтобы найти производную у ' неявной функции F(x, y) =0, нужно обе части этого уравнения продифференцировать по x, рассматривая у как функцию от x, и из этого полученного уравнения найти искомую производную y '

Пусть даны два уравнения

x=x(t), y=y(t), где t Î [T1, T2].

(1)

Каждому значению t из [T₁, T₂] соответствуют определенные значения x и y. Если рассматривать значения x и y как координаты точки на плоскости xOy, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда t изменяется от T₁ до T₂, эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями этой кривой, t называется параметром, а способ задания кривой уравнениями (1) называется параметрическим.

Предположим, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x). Тогда, очевидно, у является функцией от x: y=y[t(x)]. Следовательно, уравнения (1) определяют y как функцию от x, и говорят, что функция y от x задается параметрически.

При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не всегда возможно. Во многих случаях удобнее задавать различные значения t и затем вычислять соответствующие значения аргумента x и функции y.

Пример. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

Будем обозначать: y_x' – производная функции по переменной x, y_t', x_t', t_x' – соответственно производные по t и х.

Дата добавления: 2014-11-09