Формы остаточного члена в формуле Тейлора

Покажем, что R_n(x) = o(x-a)ⁿ. Из выбора многочлена P_n(x) следует, что

Применив для вычисления предела n раз правило Лопиталя, получим:

. Утверждение доказано. Представление остаточного члена в виде R_n = o(x-a)ⁿ

называется записью остаточного члена в форме Пеано.

Найдем еще один вид записи R_n(x). Представим его в виде

и определим вид функции Q(x).

.

Пусть при заданных значениях х и а Q(x)=Q. Рассмотрим вспомогательную функцию от t (a < t < x):

При этом предполагается, что а и х приняли фиксированные значения. Тогда

то есть F(t) дифференцируема в окрестности точки а. Из (21.10) следует, что F(x) = F(a) = 0, поэтому к функции F(t) можно применить теорему Ролля: существует t = ξ (a < ξ < x) такое, что F′(ξ) = 0. Тогда , откуда Q = f⁽ⁿ⁺¹⁾ (ξ). Подставив это выражение в формулу (21.9), получим запись остаточного члена в форме Лагранжа:

.

Так как a < ξ < x, можно представить ξ = а + θ(х – а), где 0 < θ < 1. При этом

.

Замечание. Если в формуле Тейлора принять а = 0, этот частный случай называют формулой Маклорена:

.

Дата добавления: 2014-11-09