Необходимое условие экстремума

Точки экстремума функции.

Определение 19.4. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = =f(x), если f(x) ≤ f(x₀) (f(x) ≥ f(x₀)) для всех х из некоторой δ-окрестности точки х₀.

Определение 19.5. Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.

Примеры.

1. y=x ² имеет минимум при х =0.

2. y=-|x- 3 | имеет максимум при х =3.

3. у= sin x имеет минимумы при и максимумы при .

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х₀. Если х₀ является точкой экстремума функции, то или не существует.

Примеры.

1. Функция y = x ² имеет минимум при х = 0, причем (х ²)′ = 2 x = 0 при х = 0.

2. Минимум функции y = | x | достигается при х = 0, причем производная в этой точке не существует.

Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точки х₀ и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка х₀ называется критической точкой функции.

Дата добавления: 2014-11-09