Примеры. Производная сложной функции

Производная сложной функции

Пусть y = f(u), а u = u (x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Теорема. Если функция u = u (x) имеет в некоторой точке x₀ производную и принимает в этой точке значение u₀ = u (x₀), а функция y= f(u) имеет в точке u₀ производную y '_u= f '(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y '_x= f '(u₀)· u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u = u (x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

1. y = sin x ². Тогда .

2.

3.

4.

Контрольные вопросы:

1. Производная, ее геометрический смысл

2. Производная, ее механический смысл.

3. Правила дифференцирования

4. Дифференцирование основных элементарных функций.

5. Производная обратной функции.

6.Таблица производных.

7. Дифференцирование сложной функций.

8. Дифференцирование гиберболических функций.

. Литература: [1, с. 63-86 ],[8, с.91-121]

Лекция№10 Тема: Дифференцирование функций заданных неявно и параметрически. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытия неопределенностей.Правило Лопиталя.

Цель: Ввести понятие дифференциала. Рассмотреть правила дифференцирования неявной и параметрической функций. Дать понятия производной и дифференциала высших порядков.Ознакомить студентов основными теоремами дифференциального исчисления и научить их применять правило Лопиталя при раскрытией неопределенностей.

План:

1. Дифференцирование функций заданных неявно и параметрически. Дифференциал функции.

Дата добавления: 2014-11-09