Метод подстановки (замена переменной)

1. Пусть функция непрерывная. Полагая , , где производная есть функция непрерывная, получаем

.

Если окажется, что интеграл в правой части равенства находится проще исходного, то цель замены переменной достигнута.

Для получения искомого результата в найденном интеграле с новой переменной переходим к переменной , пользуясь исходной формулой .

2. Полезно запомнить частный случай:

.

Интеграл дроби, числитель которой есть дифференциал знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя.

Действительно, положим , тогда . Получим

.

Пример 1.5.1. Вычислить интеграл .

Решение. Наличие множителя дает возможность применить подстановку , откуда . Дифференцируя, получаем , следовательно,

.

Пример 1.5.2. Вычислить интеграл .

Решение. Полагаем , , тогда , следовательно,

.

Пример 1.5.3. Вычислить интеграл .

Решение. Полагая , имеем , следовательно,

.

Пример 1.5.4. Вычислить интеграл .

Решение. Множитель позволяет применить подстановку . Имеем , следовательно,

.

Пример 1.5.5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда , следовательно,

.

Или:

.

Пример 1.5.6. Вычислить интеграл .

Решение. Полагая , имеем , следовательно,

.

Или:

.

Проверка. Убедимся, что . Находим

,

следовательно, интегрирование произведено правильно.

Пример 1.5.7. Вычислить интеграл .

Решение. .

Проверка. Убедимся, что . Находим

,

следовательно, интегрирование произведено правильно.

Пример 1.5.8. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример 1.5.9. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку , тогда ;

.

Пример 1.5.10. Вычислить интеграл .

Решение. .

Проверка. .

Пример 1.5.11. Вычислить интеграл .

Решение. Числитель дроби равен дифференциалу знаменателя, следовательно, интеграл равен логарифму модуля знаменателя

.

Проверка. .

Пример 1.5.12. Вычислить интеграл .

Решение. .

Пример 1.5.13. Вычислить интеграл .

Решение. .

Пример 1.5.14. Вычислить интеграл .

Замечание. Выражения, содержащие или , можно интегрировать с помощью тригонометрических подстановок. Так, если в подынтегральном выражении содержится , то применяется подстановка или , если содержится , то подстановка или , если же содержится , то подстановка или .

Решение. Применим подстановку , тогда .

.

Дата добавления: 2014-11-16