Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен

Для вычисления интегралов вида

; ; ,

содержащих квадратный трехчлен, применяют прием выделения полного квадрата из квадратного трехчлена. После этого применяют уже известные методы интегрирования.

Пример 1.7.1. Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат из квадратного трехчлена: .

.

Пример 1.7.2. Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат из квадратного трехчлена: .

.

Пример 1.7.3. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная рациональная дробь неправильная. Разделим числитель на знаменатель и представим данную дробь в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби:

Получим

.

В знаменателе подынтегрального выражения выделим полный квадрат .

.

Следовательно, .

Пример 1.7.4. Вычислить интеграл .

Решение. В знаменателе подынтегрального выражения выделим полный квадрат .

.

Пример 1.7.5. Вычислить интеграл .

Решение. В знаменателе подынтегрального выражения выделим полный квадрат

.

Пример 1.7.6. Вычислить интеграл .

Решение. В знаменателе подынтегрального выражения выделим полный квадрат

.

Замечание. Интеграл в зависимости от знака коэффициента легко свести к интегралам или , каждый из которых можно вычислить методом интегрирования по частям.

Пример 1.7.7. Вычислить интеграл .

Решение. .

.

Последний интеграл вычислим методом интегрирования по частям. Полагая , . Имеем , , следовательно,

,

откуда

или

.

Учитывая, что , получаем

.

Дата добавления: 2014-11-16