Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Основные формулы. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твёрдого тела) вдоль оси х




МЕХАНИКА

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твёрдого тела) вдоль оси х

х = f(t),

где f(t) некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось х

<vx > = ∆x ∕ ∆t.

Средняя путевая скорость

<v> = ∆s ∕ ∆t,

где ∆ s – путь, пройденный точкой за интервал времени ∆ t. Путь ∆ s в отличие от разности координат ∆х = х2 - х1 не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. ∆ѕ≥0.

Проекция мгновенной скорости на ось х

vx = dx ∕ dt.

Проекция среднего ускорения на ось х

< a x > = Δvx ∕ ∆t.

Проекция мгновенного ускорения на ось х

а x = dvx ∕ dt.

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

φ ═ ƒ(t)¸ r = R = const.

Модуль угловой скорости

ω = dφ ∕ d t.

Модуль углового ускорения

ε = dω ∕ d t.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

v = ωR, а t = εR, а n = ω²R,

где v – модуль линейной скорости; а t и а n– модули тангенциального и нормального ускорений; ω – модуль угловой скорости; ε – модуль углового ускорения; R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

, или

Угол между полным а инормальным а nускорениями α =arc cos(an / a).

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

х = А cos(ω t + φ),

где х – смещение; А – амплитуда колебаний; ω – угловая или циклическая частота; φ – начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

v = - А ω sin(ω t + φ); a = - A ω² cos(ω t + φ).

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

;

б) начальная фаза результирующего колебания


.

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,

x= A1 cos ω t; y = A2 cos(ω t + φ):

а) у = х ×А2 / А1, если разность фаз φ = 0;

б) у = - х ×А21, если разность фаз φ = ±π;

в) у = х²∕ A1 ² + y ²∕ Α2 ² =1, если разность фаз φ = ±π/2;

Импульс p материальной точки массой m, движущейся со скоростью v,

p = m v.

Второй закон Ньютона

d p = F d t,

где F – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F = − kx,

где k коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;

б) сила тяжести

P = m g;

в) сила гравитационного взаимодействия

F = G m1 m2 ∕ r²,

где G – гравитационная постоянная; m 1и m 2 – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряжённость G гравитационного поля:

F = m G;

г) сила трения (скольжения)

F = fN,

где f – коэффициент трения; N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

или для двух тел (i=2)

m 1 v 1+ m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2,

где v 1 и v 2 – скорости тел в момент времени, принятый за начальный; u 1 и u 2 – скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

T = mυ² ∕ 2, или T = p² ∕ (2 m).

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

П = ½kx²,

где k – жёсткость пружины; x – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

П = - Gm1 m2r,

где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh,

где g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h << R, где R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

E = T + П = const.

Работа A, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

А =Т = Т2Т1.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

Мz = Jz ε,

где Мz – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело; ε – угловое ускорение; Jz момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,

Jz = 1/12 ml2 ;

б) обруча (тонкого цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

Jz = mR ²,

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

Jz = ½ mR ².

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,

Lz = Jz ω,

где ω – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

Jz ω = const,

где Jz – момент инерции системы тел относительно оси z; ω – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

Т = ½ Jz ω², или Т = Lz2 ∕ (2 Jz).

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-16; Просмотров: 933; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.