Расчет круглого вала на кручение

Расчетно-графическая работа № 2

Общие указания

Предлагаемая работа состоит из одной задачи, в которой надо дать ответы на шесть вопросов, относящихся к разделу «КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА». Основные теоретические сведения для выполнения расчетно-графической работы изложены ниже.

Основные теоретические сведения

Кручение – это деформация прямого бруса внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса (рис. 2.1). Будем рассматривать брус круглого поперечного сечения и называть далее его валом. Моменты внешних пар называют скручивающими моментами и обозначают .

а

б

Рис. 2.1.

В общем случае на вал могут действовать несколько скручивающих моментов, приложенных в различных сечениях и взаимно уравновешивающихся (рис. 2.2.).

При этом внутренним усилием будет крутящий момент , который представляет собой результирующий момент касательных напряжений в поперечном сечении бруса. Крутящий момент равен сумме внешних скручивающих моментов , расположенных по одну сторону от сечения. Закон изменения крутящих моментов по длине вала представляют в виде графика – эпюры крутящих моментов.

Знак крутящего момента физического смысла не имеет, но о нем необходимо договориться для построения эпюры. Будем считать, что внешние скручивающие моменты, действующие на рассматриваемую отсеченную часть стержня по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения, вызывают в этом сечении положительный крутящий момент, а действующие против часовой стрелки – отрицательный. В соответствии с принятым правилом построена эпюра для бруса на рис. 2.2.

Рис. 2.2.

Зная величину , можем определить величины касательных напряжений и угол закручивания вала по формулам:

, (2.1)

, (2.2)

где – модуль сдвига; – касательное напряжение; – полярный момент инерции сечения; – внутренний крутящий момент (на валу или его участке); – угол закручивания; – длина вала или участка вала; – радиус-вектор точки, где определяется напряжение.

Эпюра (график распределения) касательных напряжений в поперечном сечении представлен на рис. 2.3,а. Максимальное напряжение достигается на поверхности вала, где

, (2.3)

где – полярный момент сопротивления.

а

б

Рис. 2.3.

Из эпюры следует, что материал в окрестности центра стержня почти не работает (напряжения близки к нулю), поэтому его можно удалить. Получится трубчатое или кольцевое сечение (рис. 2.3,б). Это сечение выгоднее круглого, так как при равной прочности имеет меньший вес.

Геометрические характеристики сплошного круглого сечения определяются по формулам:

, (2.4)

. (2.5)

Геометрические характеристики трубчатого сечения будут:

, (2.6)

. (2.7)

где – отношение внутреннего диаметра трубы к наружному.

При проектировании валов можно рекомендовать следующий порядок расчета на кручение.

По схеме вала определяются действующие на него скручивающие моменты и строится эпюра крутящего момента . Пример такой эпюры приведен на рис. 2.2.

Установив величину наибольшего крутящего момента, определим размеры его поперечного сечения из условий прочности и жесткости (для трубчатого сечения).

Условие прочности вытекает из формулы (2.3)

, (2.8)

где [ τ ] – допускаемое напряжение при кручении.

Учитывая выражение (2.7) для полярного момента сопротивления и задавая из конструктивных соображений отношение , находим наружный диаметр вала:

. (2.9)

Помимо расчета на прочность валы рассчитывают и на жесткость, ограничивая углы закручивания на единицу длины (погонные углы закручивания).

Условия жесткости вытекают из формулы (2.2)

, (2.10)

где [ ] – допускаемый угол закручивания в градусах на метр.

Учитывая выражение (2.4) для полярного момента инерции J_ρ, принимая и переводя из градусов /метр в радианы /метр, находим наружный диаметр из условия жесткости:

. (2.11)

Далее из двух значений , найденных по формулам (2.9) и (2.11), выбираем большее и округляем его до ближайшего стандартного.

Если на валу имеется несколько участков (рис. 2.2), то по результатам определения углов закручивания на участках определяем полный угол закручивания вала:

, (2.12)

где – полный угол закручивания; – угол закручивания на i -м участке; M_крi – крутящий момент на i -м участке; – длина i -го участка; (GJ_ρi) – жесткость i -го участка; n – количество участков.

Дата добавления: 2014-11-18