Решение. Глава 6. Несобственные интегралы

Глава 6. Несобственные интегралы

Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен и подынтегральная функция ограничена. Когда не выполняется одно или оба эти условия, приходят к понятию несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f (x) определена и непрерывна для всех х удовлетворяющих условию а £ х <+¥.

Рассмотрим интеграл , который имеет смысл при всех b > a. При изменении величины b этот интеграл будет вести себя как непрерывная функция от b. Если при бесконечном возрастании величины b существует конечный предел , то он называется несобственныминтегралом от функции f(x) с бесконечным верхним пределом. Таким образом, по определению

(6.1)

Если предел в (6.1) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом

(6.2)

и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами

Из определений несобственных интегралов непосредственно следует схема их вычисления: вначале находится первообразная F (x) для подынтегральной функции f(x), затем рассматривается разность пределов первообразных в точках верхнего и нижнего пределов интегрирования, т.е.

(6.3)

Пример. Установить, при каких значениях р сходится и при каких расходится интеграл

Дата добавления: 2014-11-18