Дилемма заключенного» в бесконечно повторяющейся игре

Рассмотрим теперь, каким образом парадокс Бертрана («дилемма заключенного») может быть разрешен в бесконечно повторяющейся игре.

Для начала рассмотрим парадокс Бертрана в терминах теории игр.

Если взаимодействие двух фирм продолжается один период времени, то игра приобретает характер «дилеммы заключенного». Возможные комбинации стратегий фирм и получаемых ими выигрышей представлены на рис. 8.1.

	Стратегии фирмы 2
низкая цена	высокая цена
Стратегии фирмы 1	низкая цена	(π4; π4)	(π2; π3)
высокая цена	(π3; π2)	(π1,; π1,)

Рис. 8.1. Матрица ценовой игры в модели Бертрана

Фирмы могут выбирать стратегии низкой или высокой цены и получать соответственно результаты (прибыли) такие, что:

π₂ > π₁ > π₄ > π₃

Отсюда следует, что доминирующей стратегией для каждой фирмы будет стратегия «назначать низкую цену», следовательно, равновесие рынка с низкими ценами будет служить равновесием по Нэшу в неповторяющейся игре.

Что произойдет с выбором фирм, если игра (их взаимодействие) продолжается бесконечно долго?

Доминирующими в этой игре могут быть по крайней мере две стратегии. (В действительности в бесконечно повторяющейся игре стратегий может быть гораздо больше, однако доминирующими могут быть в разных условиях только эти две.)

1. Стратегия «руки, дрожащей на курке» - назначить высокую цену в момент t, если другая фирма назначила высокую цену в момент (t- 1); и назначить низкую цену в противном случае.

2. Стратегия «хищничества» - назначать низкую цену в любой момент времени.

Максимальный выигрыш каждой фирмы в результате применения первой стратегии с учетом дисконтирования равен:

π₁

PV(π)¹ = π₁+ π₁ρδ+ π₁ρ²δ²+ …= ———

1 – ρδ

где π₁ - прибыль, полученная фирмой, назначающей высокую цену, при условии, что другая фирма также назначает высокую цену;

δ - дисконтирующий множитель, связанный со ставкой дисконтирования: δ = l/(l+i), i - ставка дисконтирования;

ρ - вероятность в момент времени t того, что фирмы будут взаимодействовать в момент (t+1) - вероятность продолжения игры в будущем.

Максимальный выигрыш фирмы от применения второй стратегии равен:

π₁

PV(π)² = π₂+ π₄ρδ+ π₄ρ²δ²+ …= π_{2 ‾} π_{4 ‾} ———

1 – ρδ

где π₂ – прибыль, полученная фирмой, назначающей низкую цену,

при условии, что другая фирма назначает высокую цену;

π₄ - прибыль, полученная фирмой, назначающей низкую цену,

при условии, что другая фирма назначает низкую цену.

Выбор оптимальной стратегии фирмы, таким образом, зависит от соотношения значений выигрышей по каждому из возможных вариантов.

Если PV(p)¹ > PV(p)², то есть если

π π₄

——— > π_{2 ‾} π_{4 ‾} ———

1 – ρδ 1 – ρδ

π_{2 ‾} π₁

ρδ > ———

π_{2 ‾} π₄

то стимулов вести ценовую войну у фирм не будет.

Следовательно, выбор стратегии «ценовой войны» или «ценового мира» зависит как от объективных факторов - вероятности продолжения взаимодействия фирм в будущем, так и от субъективных факторов - межвременных предпочтений фирм.

Дата добавления: 2014-11-18