Свободный вектор

Направленные отрезки

Лекция 1. Свободный вектор. Линейные операции над свободными векторами

Рассматриваем геометрическое пространство, которое изучалось в школьном курсе геометрии.

О п р е д е л е н и е. Отрезок называется направленным, если указан порядок его концов. Обозначение: .

О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки и называются сонаправленными (противоположно направленными), если лучи и сонаправлены (противоположно направлены).

О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки и называются противоположными.

О п р е д е л е н и е. Пару совпавших точек будем называть нулевым направленным отрезком.

О п р е д е л е н и е. Длиной направленного отрезка назовем длину отрезка .

О п р е д е л е н и е. Свободным вектором называется множество всех сонаправленных отрезков одинаковой длины.

Если направленный отрезок принадлежит вектору , то говорят, что – представитель вектора . Чтобы задать свободный вектор, достаточно указать какой-либо его представитель, поэтому записывают .

Запись означает, что направленные отрезки и имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Все нулевые направленные отрезки образуют нулевой вектор .

О п р е д е л е н и е. Длиной свободного вектора называется длина любого его представителя.

Из определения свободного вектора вытекают следующие два свойства:

(упорядоченная пара точек однозначно определяет вектор);

(от каждой точки можно отложить вектор).

У п р а ж н е н и е. Доказать свойство .

О п р е д е л е н и е. Вектор параллелен прямой , если его представители параллельны прямой или лежат на этой прямой. Нулевой вектор считается параллельным любой прямой.

О п р е д е л е н и е. Векторы и называются коллинеарными (), если они параллельны одной прямой.

О п р е д е л е н и е. Пусть . Если представители этих векторов сонаправлены (противоположно направлены), то и векторы сонаправлены (противоположно направлены): , .

Очевидно, два вектора равны тогда и только тогда, когда они сонаправлены и их длины равны.

О п р е д е л е н и е. Противоположно направленные векторы и одинаковой длины называются противоположными векторами. Записывают .

О п р е д е л е н и е. Три вектора , , называются компланарными, если их представители лежат в одной плоскости или параллельны этой плоскости.

Очевидно, что если два из трех векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.

Дата добавления: 2014-11-20