Геометрический смысл знака трехчлена прямой

Особенности расположения прямой относительно системы координат

Относительно системы координат прямая задана уравнением , где .

1. ;

2. ;

3. ;

4. или – уравнение прямой в отрезках.

Здесь и – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

5. или – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Здесь – тангенс угла наклона прямой к оси .

Лекция 3. Аналитическое задание полуплоскостей. Вычисление расстояний и углов на плоскости

Каждая прямая плоскости разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от данной прямой. Любые две точки, принадлежащие различным полуплоскостям, лежат по разные стороны от прямой. Как аналитически, то есть по уравнению прямой и координатам точек определить, лежат эти точки в одной или в разных полуплоскостях относительно данной прямой?

Относительно аффинной системы координат прямая задана уравнением , где .

Обозначим – трехчлен прямой.

Для точек и , не лежащих на прямой , будем иметь .

Точки и лежат по разные стороны от прямой тогда и только тогда, когда отрезок пересекает прямую в некоторой точке .

Так как точка лежит между и , то и , .

Точка лежит на прямой , поэтому . Отсюда получаем и , а значит и разных знаков.

Таким образом, две точки и лежат по разные стороны от прямой тогда и только тогда, когда значения трехчлена прямой для координат этих точек и разных знаков.

Имеем геометрический смысл знака трехчлена:

Каждое из неравенств определяет полуплоскость с границей .

Дата добавления: 2014-11-20