Угол между прямыми

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости относительно прямоугольной системы координат прямая задается уравнением , где .

Расстояние от точки до прямой равняется длине перпендикуляра , проведенного из к прямой .

Так как , то .

. Так как равен либо 1, либо -1, то получаем

. Учитывая, что , то есть , получаем формулу для вычисления расстояния от точки до прямой

.

Относительно аффинной системы координат прямые и задаются уравнениями

Для каждой прямой можно найти точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор

1.

2. .

3. .

Углом между прямыми и называется величина того из четырех вертикальных углов, образованных этими прямыми, который не превосходит остальные углы. Таким образом, угол между прямыми может принимать значения от 0 до .

Иногда удобно угол между прямыми считать направленным. Угол между прямыми и , заданными в указанном порядке, будем считать положительным, если поворот от к по этому углу совершается против часовой стрелки, в противном случае угол будем считать отрицательным.

Пусть на плоскости относительно прямоугольной системы координат прямые и задаются уравнениями

Тогда , .

1. Угол между прямыми и равен тогда и только тогда, когда направляющие векторы прямых ортогональны и, следовательно, .

2. Если угол между прямыми отличен от , то он однозначно определяется по значению его тангенса.
Можно заметить, что тангенс направленного угла между прямыми равен тангенсу направленного угла между направляющими векторами этих прямых .

Как вычислить тангенс направленного угла между векторами и ?

Пусть и направленные углы между вектором и направляющими векторами прямых. Для направленного угла между векторами и имеем .

Для вычисления найдем и :

.

.

Таким образом, .

Возможны случаи

а) .

, где и – угловые коэффициенты прямых и .

б) , ( параллельна, а не параллельна оси ).

.

в) ( параллельна, а не параллельна оси ).

.

г) , (прямые параллельны оси ).

Дата добавления: 2014-11-20