Лабораторна робота № 6

Побудова рівняння регресії за методом найменших квадратів.

На практиці часто виникають проблема оцінки поведінки деякої системи на підставі даних, які отримані в результаті проведення експерименту.

Приклад 1. Для значень температури t нагріву пристрою вимірюється тиск р у цьому пристрої. Треба визначити, яким буде тиск у пристрої, якщо при деяких нестандартних умовах (наприклад, внаслідок виходу з ладу одного з комплектуючих) температура зросте до t^* (практично треба визначити, чи буде цей пристрой у робочому стані).

Приклад 2. Проводяться заміризабрудненості морської води в залежності від глибини S (відстань шару води від поверхні). На підставі отриманих даних треба оцінити параметри забрудненості на глибині S^*.

Таких прикладів можна надати дуже багато. Математичної моделлю кожної з таких задач є наступна. На підставі табличних значень залежності результативної ознаки Y від факторної ознаки Х побудувати аналітичну залежність та використовувати ії для прогнозу значень результативної ознаки Y для позатабличних значень факторної ознаки Х (однофакторна регресія). На практиці результативна ознака Y може бути залежною від багатьох (декількох) факторів Х₁, Х₂, … Х_n (багатофакторна регресія). Так чи інакше, підставою рішення цієї проблеми, тобто. побудови рівняння регресії, є метод найменших квадратів.

6.1. Лінійна регресія

Отже, припустімо, що в результаті експерименту отримана наступна таблиця залежності результативної ознаки Y від факторної ознаки Х.

X	X1	X2	……..	Xn
Y	Y1	Y2	……..	Yn

Треба побудувати аналітичну функцію , таким чином, щоб вона як найкраще наближала табличну.

Алгоритм рішення.

1.Будуємо точковий графік по даних таблиці.

2. Візуально визначаємо вид майбутньої аналітичної залежності В даному випадку, очевидно, аналітична залежність - лінійна , тому що точки точкового графіка розташовані так, що між ними візуально можна провести пряму лінію.

Параметри залежності а₀, а₁ підлягають визначенню.

Критерій оптимальності параметрів має вигляд

(метод найменших квадратів).

Тому система для визначення параметрів а₀, а₁

де n – кількість вузлів. Очевидно, коефіцієнти при невідомих а₀, а₁ - це суми, які обчислюються за даними таблиці. Таким чином, в разі лінійної залежності для визначення параметрів а₀, а₁ потрібно вирішити систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими.
За методом Крамера, широко відомому з курсу матричної алгебри, отримаємо

,

Вирішимо практичну задачу з використанням цього методу.

Нехай результати вимірювань представлені в таблиці.

X	1,25	2,54	3,74	4,87	6,12	7,78	8,55
Y	5,32	8,25	7,12	9,36	11,2	11,9	13,2

Покажемо по кроках рішення задачі, тобто побудову рівняння регресії, а також аналіз отриманих результатів і різні методи прогнозу в електронних таблицях Excel.

Значення параметрів а₀, а₁ розраховуються по вказаним формулам, необхідні суми розраховані в таблиці.

Однак можна використовувати вбудовані можливості Excel. Ті ж самі значення параметрів отримаємо за допомогою вбудованих функцій НАКЛОН и ОТРЕЗОК.

Підставимо отримані значення в рівняння , маємо . Розрахуємо Y_розр. В рядку формул вказано розрахункову формулу для Y_розр.: =$І$2*B2+$І$3

Побудуємо графіки вихідної та розрахункової функцій по стовпцях B, C і F. Як бачимо, аналітична лінійна функція, побудована за методом найменших квадратів, дійсно найкращим чином апроксимує табличну.

Прогноз для наступних, позатабличних значень аргументу Х можна побудувати, використовуючи функцію «Тенденція» (категорія «Статистичні»).
Графічний прогноз отримаємо, додавши лінію тренда. Для цього в контекстному меню точки графіка виберемо команду «додати лінію тренда».

Варіанти завдань за темою «Аналіз та прогноз даних. Лінійна регресія»

Мета роботи: Вивчити метод найменших квадратів побудови рівняння регресії. Отримати навички використання вбудованих математичних та статистичних функцій для рішення практичних задач аналізу та прогнозу.

Дата добавления: 2014-11-08