Координатные системы и геометрические преобразования

Модель изображения. Графические примитивы.

Изображением называют совокупность графических объектов, которая одновременно выведена на поверхность визуализации. графическим примитивом называют большой базовый элемент, который может быть использован для построения изображения. В частности, графическими примитивами являются точка, отрезок линии, последовательность символов.

Существуют два типа графического представления: линейные (штриховые рисунки, состоящие из отрезков прямых и в некоторых случаях из дуг конических сечений; растровые изображения, образованные множеством элементарных точек (пикселей), каждая из которых соответствует элементарному адресуемому квадратику на экране.

В зависимости от характера решаемых задач в машинной графике применяются различные координатные системы: декартова, аффинная, полярная цилиндрическая, сферическая и система однородных координат. Координатная система - это совокупность правил, по которой каждой точке пространства ставится в соответствие набор чисел (координат). Число координат, которые требуются для определения точки, определяет размерность пространства.

В машинной графике, в зависимости от структуры представления изображений и от процесса обработки графических данных, используются различные координаты: абсолютные, относительные, координаты пользователя, мировые, физические и нормализованные.

Абсолютной называется координата, определяющая позицию адресуемой точки по отношению к началу заданной системы координат, а относительной - по отношению к некоторой другой адресуемой точке. Координатой пользователя называется координата, заданная пользователем и выраженная в системе координат, не зависящей от конкретных устройств. Мировой координатой называют независимую от устройства декартову координату, используемую в прикладной программе при задании графических входных и выходных данных. Физической координатой считают координату, заданную в системе координат, которая зависит от устройства. Нормализованной координатой называют координату, заданную в промежуточной независимой от устройств системе координат и нормированную относительного некоторого диапазона, обычно от 0 до 1. При этом изображение, выраженное в нормализованных координатах, располагается в одной и той же относительной позиции при визуализации на любое устройство.

Нормализованные координаты используются в случае, если область трехмерного пространства, ограниченная кубом, со стороной b отображается в ту же область, ограниченную кубом со стороной b¹, при этом используется нормирующий множитель , делением на который получают нормализованные координаты. Координаты мировой системы иногда приводят к нормализованному виду. Приборная система координат всегда нормирована. Они обычно задаются в десятичных долях в диапазоне от 0 до 1 или в целых единицах растра экрана дисплея (размер 1024´1024 единиц растра).

Аффинная и декартова системы координат на плоскости устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками и координатами по следующей схеме. В декартовой системе на плоскости задаются две взаимно перпендикулярные прямые Оx и Оy - оси координат, положение произвольной точки Р в плоскости Оxy определяется двумя числами (x, y) (рис. 1).

Рис. 26.

В трехмерном пространстве добавляется третья ось Oz, перпендикулярная к плоскости Оxy и проходящая через начало координат. Положительным направлением оси Oz принято считать направление движения винта с правой резьбой, который вращается вокруг оси против часовой стрелки от оси Оx к оси Оy (рис.26). Считается, что в этом случае оси правоориентированы. Для нахождения декартовых координат точки Р необходимо путь от 0 до Р разложить на три взаимно ортогональных отрезка, параллельные осям координат (рис. 27, 28), порядок следования отрезков не влияет на конечный результат. Три отрезка ОМ, MN и NP и являются прямоугольными декартовыми координатами точки Р (x, y, z). При нахождении точки Р с другой стороны от плоскости Оyz, чем ось Оx, перемещение ОМ считается отрицательным и координата х имеет знак минус. Отрицательными могут быть также координаты y и z. Координаты можно рассматривать как элементы матрицы в виде вектор- строки [xy] или вектор - столбца .

Рис. 27 Рис. 28

Если единичные отрезки на осях не равны, система называется аффинной; если они равны, а угол между осями - косоугольной декартовой; при равенстве единичных отрезков и прямом угле между осями - прямоугольной декартовой.

Аффинная или декартова система координат называется правой, если совмещение положительной полуоси x с положительной полуосью y осуществляется поворотом оси Ох в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки на угол, меньший p. В противном случае система координат называется левой.

Операция кадрирования и отсечения. Изображения объектов задаются в мировой системе координат, чтобы преобразовать мировые координаты в соответствующие физические координаты дисплейного устройства (графического дисплея), используется простой графический пакет (ПГП) - небольшой набор независимых от конкретного применения средств для формирования двумерных объектов на экране графического дисплея, а также для обеспечения взаимодействия между пользователем и прикладной программой.

Чтобы выполнить такое преобразование, должно быть известно, какая часть в принципе неограниченного мирового координатного пространства должна попасть на экран графического устройства. Заданную часть виртуального пространства, в которой формируется изображение для вывода на графические устройства, называют окном; оно обычно имеет прямоугольную или квадратную форму. Заданная часть пространства визуализации, на которую изображается окно, называется полем вывода. Операция отображения окна на поле вывода называется видовым преобразованием. ПГП использует задание окна для построения изображения, в котором изображение границ окна совпадает с рамкой экрана, т.е. с полем вывода. Однако нередко возникает необходимость вывода на экран лишь части изображения. Другую часть изображения, не попадающую в окно, ПГП делает невидимой с помощью операции, называемой отсечением. При отсечении удаляются графические примитивы или их части, лежащие вне заданной области. При отображении объекта обычно осуществляются операции одновременного преобразования окна и сформированного в нем изображения. Графические примитивы, располагающиеся полностью вне границ поля вывода, не отображаются на экран. В случае, если примитив часто попадает на экран, он отсекается по границе поля вывода. Операция отсечения может осуществляться как до преобразования отображения, так и после него. Целесообразно делать отсечение до отображения, так как это экономит время и ресурсы за счет того, что невидимые линии не подвергаются преобразованиям.

Видовое преобразование и отсечение дают возможность выводить на экран только те части изображения, которые находятся внутри окна. Перемещая окно и назначая его размеры, можно создавать такие кинематографические эффекты, как панорамирование, крупный или мелкий план.

Геометрические преобразования. В машинной графике широко используются преобразования координат, как двумерные, так и трехмерные. Необходимость в преобразованиях возникает в различных ситуациях: при переходе от мировых координат изображаемого объекта к физическим координатам; при получении различных видов, разрезов или сечений детали; при построении наглядных изображений объекта в перспективе или аксонометрии; при переносе, масштабировании и повороте изображений.

Если первые три пункта можно отнести к преобразованиям координат объекта в физические координаты изображения, то последний пункт является преобразованием изображений, не влияющим на систему координат, в которой изображен объект. Рассмотрим некоторые из названных преобразований объектов и покажем их связь с соответствующими преобразованиями координат.

Перенос. Переносом называется смещение графических примитивов на один и тот же вектор. При перенесении изображения без поворота связь между радиус-вектором перемещенной точки и ее первоначальным положением выражается зависимостью

здесь t - вектор перемещения точки рассматриваемого изображения. Если изображение остается на месте, а параллельно без поворота переносятся оси координат, то связь между вектором в новой системе координат O¹x¹y¹z¹ и вектором в старой системе координат Oxyz определяется зависимостью

В случае преобразования координат обозначим векторы через и , при преобразовании изображений обозначим векторы через и . Поэтому Х¹ и Х - различные представления одной и той же точки Р; Р¹ обозначает новую точку, которая получена в результате преобразования точки Р объекта. Компоненты векторов и представим через x, y, z, а компоненты векторов и - через x¹, y¹, z¹. Следовательно, перенос координатных осей эквивалентен такому же переносу изображения в противоположном направлении.

Масштабирование. Точки изображения можно промасштабировать (сжать или растянуть) в S_x раз вдоль оси х и в S_y раз вдоль оси y, в результате получаются новые точки

.

Если определить S как , то можно записать в матричной форме

или Р¹ = Р × S.

На рис. 3 показан контур домика, промасштабированный с коэффициентами 1/3 по оси х и 1/2 по оси y. Масштабирование производится относительно начала координат, домик стал меньше и приблизился к началу координат, в случае коэффициентов масштабирования больше 1 домик бы увеличился и отдалился от начала координат. Масштабирование называется полным, когда коэффициенты по осям х и y равны, и частичным, как в выше приведенном случае. При частичном масштабировании пропорции объекта изменяются.

Рис. 29

Поворот. Точки могут быть повернуты на произвольный угол относительно начала координат. Если применить в плоскости Оxy полярную систему координат, то полярные координаты (r, j) произвольной точки Р после поворота получат вид (r, j + q) (рис. 5). Если , а , то , откуда

.

Положительными считаются углы, измеряемые против движения часовой стрелки от х к y.

Рис. 30

Поворот точки на плоскости представим в матричной форме

При повороте осей координат указанным выше способом изображение поворачивается на угол - q, а преобразование координат выражается соотношением

Между преобразованием координат и преобразованием изображения существует простая связь, выражаемая зависимостью А=В^Т (В^Т - матрица, транспортированная к В). На рис. 6 показан прямоугольный треугольник, повернутый на 45°. Описанные ранее преобразования переноса, масштабирования и поворота могут быть записаны в матричной форме:

Рис. 31

Часто приходится сочетать эти элементарные виды преобразования по два и даже по три. Между тем перенос реализуется с помощью сложения, а масштабирование и поворот с помощью умножения. Для объединения этих преобразований целесообразно воспользоваться однородными координатами. С помощью таких координат все три преобразования можно реализовать при помощи умножения. Матричное произведение иногда называется композицией.

13. диалоговые графические методы ввода и моделирования.

13.1.Базовые операции и специальные диалоговые методы ввода.

13.2.Управляемый пространственный символ.

13.3.Диалоговое управление моделью аппарата проецирования.

Дата добавления: 2014-11-20