Тема 13. Механические колебания и волны

13.1 Механические колебания

Уравнение гармонических колебаний: x = Acos (ω₀t + φ); x = A sin (ω₀t + φ), где x –смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А – амплитуда колебаний; ω=2πν =2π/T - угловая (циклическая) частота; ν - частота колебаний; T - период; φ - начальная фаза. Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания; v_x= t = -Aω₀sin (w₀t + φ) = - Aω₀cos (ω_ot + φ + π/2); a_x= = - Aω²cos (ω₀t + φ) = -ω₀²x

Динамическое уравнение гармонических колебаний: - kx или , где ω₀² = k/m

Кинетическая энергия колеблющегося тела массой m: W_k =mv²/2 = mA²ω₀²sin²(ω₀t + φ)/2. Потенциальная энергия: W_n= mA²ω₀²cos²(ω₀t + φ)/2. Полная энергия: W = W_k + W_n = mA²ω₀²/2 = const

Периоды колебания маятников: пружинного: математического: , физического: , где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; l - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; L =J/ml - приведенная длина физического маятника; g - ускорение свободного падения

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение: ; x = Ae^{-β t}cos (ωt + φ), где x – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс; β= r/2m - коэффициент затухания; r –коэффициент сопротивления среды; m - масса; ω ₀ –свободная циклическая частота незатухающих колебаний той же системы; ω= (ω₀²- β²)^1/2- частота затухающих колебаний; Ae^{-β t} - амплитуда затухающих колебаний.

Декремент затухания: A(t)/A(t +T) = e^βt, где A(t), A(t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний соответствующих моментам времени, отличающимся на период. Логарифмический декремент затухания: θ=ln A(t)/ A(t+T) = β T = T/τ = 1/N, где τ – время релаксации N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения колебаний в е раз. Добротность колебательной системы: Ω = π / θ = ω₀/2β

Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний и его решение для установившихся колебаний: x= Acos (Ωt - φ), где x – координата колеблющейся точки; F=F₀cos Ωt – внешняя сила, вызывающая вынужденные колебания; Амплитуда: A = F₀/ m [(ω₀ ² - Ω²) + 4 β Ω²]^1/2; Фаза: φ=arctg 2βπ/(v₀²-Ω²) Резонансная частота и резонансная амплитуда: ;

13.2. Упругие волны

Связь длины волны λ, периода колебаний T и частоты ν: λ = vT = v/ ν; v = λν, где v –фазовая скорость (скорость распространения колебаний в среде)

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х: x(t) = Acos (ωt – kx + φ₀) где х(t) – координата точки в момент времени; A –амплитуда волны; ω - циклическая (круговая) частота; k = 2π/λ =2π/vT = ω/v – волновое число; λ – длина волны; v -фазовая скорость; T – период колебаний; φ₀ – начальная фаза колебаний

Связь между разностью фаз Δφ и разностью хода d: Δφ= π d/ λ

Условия максимумов и минимумов амплитуды при интерференции: Δ φ_max= ± 2πm; Δφ_min= ± (2m+1)πm Δ d_vax = ±m λ; Δ d_min= ± (2m+1) λ /2, где m = 0, 1, 2.

Фазовая v и групповая скорость u: v= ω/k; u =dω/dk; u = v - λ dv/dλ

Уравнение стоячей волны: x(t) = 2A(cos 2π x / λ)cosωt = 2Acoskx cos ωt. Координаты nучностей и узлов: x_n = + m λ /2; x_y = + (m +1/2)λ /2, m=0, 1, 2.

Пример 17. Сплошной однородный диск колеблется около оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через край диска (рис.). Найти радиус диска, если приведенная длина этого физического маятника равна L = 0,15 м.

Условие:

L = 0,15 м;

R -?

Решение. Период колебания физического маятника может быть рассчитан двояко: Т_ф = 2π(L/g)^1/2, или Т_ф = 2π(J/mgd)^1/2,

где J - момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку О; d – расстояние от оси вращения до центра тяжести, в данном случае d = R.

2π(L/g)^1/2 = 2π(J/mgd)^1/2 (1)

Из уравнения (1) находим: L = J/md.

По теореме Штейнера: J = J₀ + md²,

где J₀ –момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр тяжести. Для диска J₀ = mR²/2.

Итак, L = (J₀ + md²)/md = 3R/2.

Откуда: R = 2L/3 = 0,10 м.

Пример 18. Определить возвращающую силу F в момент времени t = 0,2 c и полную энергию W точки массой m = 20 г, совершающей гармонические колебания согласно уравнению х = Asin ωt, где А =15 см; ω = 4 с^-1. Найти также время t, когда х = А/2.

Решение. Силу по второму закону Ньютона определим как

F = ma, где ускорение а = d²x/dt² = - Aω²sin ωt.

Тогда F = - mAω²sin ωt = -0,02 H.

Полная энергия колеблющейся точки равна W = mω²A²/2 = =3,55·10^-2 Дж.

Время, через которое смещение х =А/2, найдем из того, что

А/2 = Аsin ωt, sin ωt = 1/2, ωt = π/6.

Откуда t = π/6ω = 4,17·10^-2 c.

Дата добавления: 2014-11-20