Однородные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения с раздельными переменными

Дифференциальное уравнение вида:

(12.13)

называется уравнением с разделенными переменными.

Уравнение (12.13) можно представить в виде:

(12.14)

Интегрируя левую и правую часть, получим общее решение уравнения с разделенными переменными:

(12.15)

Пример 12.4.

Дано уравнение с разделенными переменными:

. Найти общее решение.

Решение:

Интегрируя, получим общий интеграл:

(12.16)

Так как левая часть неотрицательна, то и правая часть также неотрицательна. Обозначив , уравнение (12.16) запишем в следующем виде:

Графиком данного уравнения является система концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом (рис. 12.2).

Дифференциальное уравнение вида:

(12.17)

уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с раздельными переменными путем деления обоих его частей на выражение :

Или:

(12.18)

Полученное уравнение представляет собой ДУ с разделенными переменными.

Пример 12.5.

Дано уравнение . Найти общее решение.

Решение:

Разделим левую и правую части на выражение ; получим:

Интегрируем левую и правую часть:

Таким образом:

Определение 12.7. Функция называется однородной функцией го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество:

(12.19)

Пример 12.6.

Функция есть однородная функция второго измерения, поскольку .

Пример 12.7.

Функция есть однородная функция нулевого измерения, поскольку , т.е. справедливо выражение .

Определение 12.8. Уравнение первого порядка

(12.20)

называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .

Решение однородного уравнения:

По условию . Положив в этом тождестве , получим:

, (12.21)

т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Уравнение (11.20) в этом случае примет вид:

(12.22)

Сделаем подстановку:

, т. е. .

Тогда будем иметь:

Подставляя полученное выражение в уравнение (11.22), получим:

(12.23)

Это – уравнение с разделяющимися переменными:

или .

Интегрируя, найдем:

(12.24)

Подставляя после интегрирования вместо отношение , получим интеграл уравнения (12.22).

Пример 12.8.

Дано однородное уравнение: .

Решение:

Разделим левую и правую часть данного уравнения на , получим:

(12.25)

Сделаем замену . При этом:

. (12.26)

Из уравнения (12.25) следует:

(12.27)

Подставим в последнее выражение уравнение (12.26):

Отсюда:

Проинтегрировав левую и правую части, получим:

(12.28)

Запишем последнее выражение с учетом того, что

Или:

Дата добавления: 2014-11-20