Расчет стандартных ошибок коэффициентов регрессии

Теоретические дисперсии , зависят от дисперсии случайной ошибки. По данным выборки отклонения , а, следовательно, и их дисперсия неизвестны, поэтому они заменяются наблюдаемыми остатками и их выборочной дисперсией. Несмещенной оценкой дисперсии является величина (остаточная дисперсия) , которая служит мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии. Величина называется стандартной ошибкой регрессии. Заменив в теоретических дисперсиях неизвестную на оценку , получим оценки дисперсии:

, . (1.5)

Величины , есть стандартные отклонения случайных величин и , называемые стандартными ошибками коэффициентов регрессии. Объяснение данных соотношений имеет наглядную графическую интерпретацию. В знаменателях дробей (1.5) стоит сумма квадратов отклонений от среднего значения . Эта сумма велика (следовательно, вся дробь мала, и выборочные дисперсии оценок меньше), если регрессия определяется на широком диапазоне значений переменной X. Например, на рис. 5 через пары точек (1, 3) и (2, 3) проведена одна и та же прямая. Но диапазон (1, 3) шире диапазона (2,3). Если вместо точки 3 рассмотреть либо точку 3_а, либо 3_б (т.е. при случайном изменении выборки), то наклон прямой для пары (1, 3) изменится значительно меньше, чем для пары (2, 3).

Рис. 5

Выборочная дисперсия свободного члена уравнения регрессии пропорциональна дисперсии . Действительно, чем сильнее меняется наклон прямой, проведенной через данную точку , тем больше разброс значений свободного члена, характеризующего точку пересечения этой прямой с осью OY.

Кроме того, разброс значений свободного члена тем больше, чем больше средняя величина . Это связано с тем, что при больших по модулю значениях X даже небольшое изменение наклона регрессионной прямой может вызвать большое изменение оценки свободного члена, поскольку в этом случае в среднем велико расстояние от точек наблюдений до оси OY. На рис. 6 через пары точек (1, 2) и (3, 4) проходит одна и та же прямая, пересекающая ось OY в точке (0, b₀). Для второй из этих пар значения переменной X больше по абсолютной величине (при одинаковом диапазоне изменений X и Y), чем для первой. Если в этих парах точки 1 и 3 изменить на одну и ту же величину (новые точки 1_а, 3_а), то углы наклона новых прямых (1_а, 2) и (3_а, 4) будут одинаковы. Но свободный член b₀₁ для первой прямой будет существенно меньше отличаться от b₀, чем свободный член b₀₂ для второй прямой.

Рис. 6

Дата добавления: 2014-11-20