Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

,

где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу F, то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила . Для каждой материальной точки можно записать:

,

где , поэтому

,

где m_i – масса i- й точки; – угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

,

где – момент силы – это произведение силы на ее плечо .Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы .

Рис. 5. Твердое тело, вращающееся под

действием силы F около оси “ОО”

– момент инерции i -й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

.

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим через М, а через J, тогда

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела.Величина – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F,сообщающий всем точкам тела ускорение . – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени , то есть

,

где – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени .

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения, то

или ,

где – импульс момента силы – это произведение момента силы на промежуток времени .

– изменение момента импульса тела, – момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть .Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса ”:

или

Дата добавления: 2014-11-08