Тема: Взаимное пересечение поверхностей

Построение линии пересечения поверхности вращения плоскостью начинают с определения её опорных точек. Опорными называют высшую и низшую точки относительно плоскости Н, крайние левую и правую, переднюю и заднюю, а также точки видимости, расположенные на контурных линиях и делящие линию пересечения на видимую и невидимую части. Остальные точки являются промежуточными. Для построения точек линии пересечения используют вспомогательные плоскости, перпендикулярные оси вращения. Линейчатые поверхности пересекают вспомогательными плоскостями также по прямым линиям.

Сечение цилиндра. Любая плоскость пересекает поверхность прямого кругового цилиндра:

1) по окружности, если плоскость перпендикулярна оси цилиндра (рис.34, а)

2) по эллипсу, если плоскость произвольно наклонена к оси цилиндра (рис.34, б)

3) по двум образующим, если плоскость параллельна оси цилиндра и отстаёт от неё на расстояние, которое меньше радиуса цилиндра (рис.34, в)

4) по одной образующей, если плоскость параллельна оси цилиндра и отстоит от неё на расстояние, которое равно радиусу цилиндра (плоскость – касательная к поверхности цилиндра).

Рис.9

Рисунок 34

Сечение конуса (рис.35).Обозначим угол наклона образующей конуса к его основанию через a, а угол наклона плоскости к основанию конуса - через b.

Любая плоскость, проходящая через вершину конуса пересекает его поверхность:

1) в точке, если b больше a;

2) по одной образующей, если b =a

3) по двум образующим.

Любая плоскость, не проходящая через вершину прямого кругового конуса, пересекает его поверхность:

1) по окружности, если плоскость перпендикулярна оси конуса, т. е. b =0;

2) по эллипсу, если b больше a;

3) по параболе, если b =a, т. е.плоскость параллельна одной из образующих конуса;

4) по гиперболе, если b меньше a или b =a.

Рис.10

Рисунок 35

Сечение шара. Любая плоскость пересекает поверхность шара по окружности. В зависимости от положения секущей плоскости проекцией фигуры сечения шара может быть круг, прямая или эллипс.

На рисунке 36 показано построение проекций линии пересечения поверхности шара фронтально-проецирующей плоскостью Р. фронтальная проекция линии пересечения представляет собой отрезок а^/b^/ на фронтальном следе плоскости, а горизонтальная – эллипс, который строят по точкам, определяемым с помощью горизонтальных плоскостей уровня S₁, S₂, S_3.

Рисунок 36

Пересечение прямой линии с поверхностью. Для того, чтобы найти точки пересечения прямой линии с поверхностью пользуются алгоритмом:

1) заданную прямую заключают во вспомогательную плоскость;

2) находят линию пересечения двух плоскостей (заданной и полученной плоскости);

3) на пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки.

При заключении прямой во вспомогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы её линия пересечения с поверхностью проектировалась на плоскость проекций в виде простейших линий – прямой или окружности.

На рисунке 37, а показано построение точек пересечения М и N прямой АВ с поверхностью пирамиды при помощи вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости Р. Сначала найдены горизонтальные проекции m и n этих точек в пересечении горизонтальной проекции аb с горизонтальной проекцией 1-2-3 линии пересечения поверхности плоскостью, а затем и фронтальные проекции m^/ и n^/.

Рисунок 37

В частном случае, когда прямая пересекает проецирующую поверхность, например поверхность прямой призмы или прямого кругового цилиндра (рис.37, б, в), точки пересечения определяются без вспомогательных построений. Так горизонтальные проекции m и n точек пересечения уже определены, а фронтальные проекции m^/ и n^/ находят при помощи линий связи.

Взаимное пересечение поверхностей. Линия пересечения поверхностей состоит из точек, принадлежащих каждой из них. Общий способ построения линии пересечения заключается в последовательном нахождении точек, ей принадлежащих, при помощи вспомогательных секущих поверхностей - посредников. В качестве посредника выбирается плоскость или сфера. Выбор того или иного посредника зависит ккак от типа пересекаемых поверхностей, так и от их взаимного расположения.

Различают два вида пересечения поверхностей:

1) полное, когда все образующие или ребра одной поверхности соответственно пересекаются с другой поверхностью;

2) частичное, когда честь образующих или ребер боковых поверхностей не участвуют в пересечении.

В результате полного пересечения получаются две замкнутые линии, а частичного – одна.

Построение линии пересечения начинают с нахождения её опорных точек. Промежуточные точки ищут в тех местах, где опорные точки расположены далеко друг от друга.

Линия пересечения двух поверхностей может быть:

1) пространственная ломаная линия – при пересечении двух многогранников;

2) пространственная кривая – при пересечении двух кривых поверхностей или кривой поверхности и многогранника.

Способ секущих плоскостей. Этот способ выбирается в том случае, если осевые линии двух поверхностей параллельны между собой. Секущая плоскость выбирается так, чтобы она пересекала заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям – прямым или окружностям. Чаще всего секущая плоскость является плоскостью уровня. Для того, чтобы найти произвольную точку линии пересечения, пользуются алгоритмом:

1) вводят вспомогательную секущую плоскость;

2) находят линию пересечения этой плоскости с каждой из заданных поверхностей

3) на пересечении найденных линий находят искомые точки.

Последовательно вводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек.

ПРИМЕР.

Построить линию пересечения цилиндра с шаром (рис.38).

Вводим вспомогательную плоскость R, параллельную плоскости Н; плоскость R пересекает обе поверхности по окружностям; на их пересечении находим точки (1, 1^/ ) и (2, 2^/). Аналогично находим еще ряд произвольных точек. Затем – характерные точки: низшую (a, a^/), высшую (b, b ^/), а также (а, а^/) и (b, b^/).

Соединив все наеденные точки кривой линией, получаем искомую линию пересечения.

Способ концентрических секущих сфер. Если оси двух поверхностей вращения взаимно пересекаются и параллельны какой-либо плоскости проекций, то для построения линии их пересечения применяют вспомогательные сферы. Построение основано на том, что сфера, центр которой расположен в точке пересечения осевых линий поверхностей вращения, пересекается с ними по окружности.

Проекция линии пересечения на плоскости, параллельно которой расположены оси, может быть построена по одной проекции этих поверхностей.

Алгоритм: 1) проводим секущую сферу;

3) строим линии пересечения сферы с каждой из поверхности;

4) на пересечении построенных линий находим искомую точку.

Проводим ещё ряд сфер и находим точки, принадлежащие линии пересечения, которые соединяем между собой плавной кривой линией.

Необходимо провести сферу с минимальным и максимальным радиусом. Этот радиус выбирается так, чтобы данная сфера только касалась одной из поверхностей и в тоже время пересекала другую.

ПРИМЕР.

Построить линию пересечения цилиндра с конусом, пользуясь шаровыми поверхностями (рис. 39).

Принимаем точку (с, с^/) пересечения осе цилиндра и конуса за центр вспомогательных шаровых поверхностей. Описываем из точки (с, с^/) шар произвольного радиуса, который пересекает каждую из данных поверхностей по окружности; вертикальные их проекции – прямые линии, а горизонтальные – эллипсы (последние для решения задачи не нужны и поэтому их не строим). На пересечении этих прямых линий получаем вертикальные проекции 1^/ и 2 ^/ точек. Аналогично, меняя только радиус шара, получаем еще ряд точек. Соединив эти точки кривой линией находим искомую линию пересечения.

Рисунок 38

Рисунок 39

Контрольные вопросы:

1. Перечислить способы задания поверхностей многогранников (призма, пирамида).

2. Дать алгоритм нахождения точки лежащий на поверхности многогранника.

3. Перечислить поверхности вращения.

4. Что называется экватором меридианом экватором параллелями поверхностей вращения?

5. Дать алгоритм нахождения пересечения прямой линии с поверхностью.

6. Дать алгоритм нахождения линии пересечения поверхностей методом секущих плоскостей.

7. Дать алгоритм нахождения линии пересечения поверхностей методом концентрических секущих сфер.

Дата добавления: 2014-11-20